Qual das expressões abaixo é equivalente a 2 x^3+x+5x^2+x+1 ?
(I) 2 x-2+x+7x^2+x+1
(II) 2 x+2+x+7x^2+x+1
(III) x+7+2 x+2x^2+x+1
(IV) x+7+2 x-2x^2+x+1
(V) 2 x+2+x-7x^2+x+1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a expressão 2x^3 + x + 5x^2 + x + 1 e precisamos descobrir qual das opções fornecidas é equivalente a essa fração. Para resolver isso, vamos usar o Polinômio da Divisão, que nos ajuda a dividir polinômios e encontrar expressões equivalentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polinômios envolvidos:
  • Dividendo: 2x^3 + x + 5
  • Divisor: x^2 + x + 1
Nosso objetivo é dividir o dividendo pelo divisor para encontrar o quociente e o resto dessa divisão.

Passo 3

Vamos começar a divisão:
  1. Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor:
    2x^3x^2 = 2x
    Esse é o primeiro termo do nosso quociente.
  2. Multiplicar o divisor por esse termo do quociente:
    2x times (x^2 + x + 1) = 2x^3 + 2x^2 + 2x
  3. Subtrair esse resultado do dividendo:
    (2x^3 + x + 5) - (2x^3 + 2x^2 + 2x) = -2x^2 - x + 5

Passo 4

Agora, repetimos o processo com o novo polinômio resultado da subtração:
  1. Dividir o novo termo de maior grau pelo termo de maior grau do divisor:
    -2x^2x^2 = -2
    Esse é o próximo termo do nosso quociente.
  2. Multiplicar o divisor por esse termo:
    -2 times (x^2 + x + 1) = -2x^2 - 2x - 2
  3. Subtrair esse resultado do polinômio atual:
    (-2x^2 - x + 5) - (-2x^2 - 2x - 2) = x + 7

Passo 5

Agora, nosso quociente até agora é 2x - 2 e o restante é x + 7. Portanto, podemos expressar a fração original como:
2x^3 + x + 5x^2 + x + 1 = 2x - 2 + x + 7x^2 + x + 1

Resposta

A expressão equivalente é a opção (I):
2x - 2 + x + 7x^2 + x + 1

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