Parametrize a porção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 limitada por dois paralelos e dois meridianos, sabendo-se que o ângulo entre os dois meridianos é alpha e a distância entre os planos que contêm os paralelos é h.
Sugestão: situe um dos paralelos no plano x y e um dos meridianos no plano x z e use a idéia das coordenadas esféricas.

Passo 1

O exercício pede para parametrizar a porção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 limitada por dois paralelos e dois meridianos. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, situar um paralelo no plano xy e um meridiano no plano xz.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, todo ponto da esfera de raio a satisfaz
x = asinthetacosphi, y = asinthetasinphi, z = acostheta

Passo 3

Os meridianos são curvas de phi constante. Colocamos um meridiano no plano xz, ou seja phi=0, e o outro a um ângulo alpha desse plano, ou seja phi=alpha. Logo
phi varia de 0 a alpha.

Passo 4

Os paralelos são curvas de theta constante ou planos z=constante. Colocamos um paralelo no plano xy, isto é z=0, que dá
costheta=0 e theta=pi/2. O outro paralelo está no plano a distância h do plano xy, isto é z=h, o que exige
costheta=tfracha e theta=arccosl(tfrachar). Como 0, concluímos que
theta varia de arccos(tfracha) até pi/2.

Passo 5

Portanto, a parametrização final fica:
r(theta,phi)=l(asinthetacosphi,;asinthetasinphi,;acosthetar),
com
thetainl[arccos(tfracha),,tfracpi2r] e phiin[0,alpha].

Resposta

r(theta,phi)=l(asinthetacosphi,;asinthetasinphi,;acosthetar), com thetain[arccos(tfracha),tfracpi2] e phiin[0,alpha].

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