Suponha que a taxa média de chegada de e-mails em uma empresa é 3 por hora.
Qual é a probablidade de receber exatamente 5 e-mails em uma hora de trabalho?
Qual é a probablidade de receber exatamente 5 e-mails em uma hora de trabalho?
Passo 1
O enunciado nos dá a seguinte informação e pede uma coisa só:
- Taxa média de chegada de e-mails:
e-mails por hora (peguei este valor do enunciado). - Pergunta: qual a probabilidade de receber exatamente 5 e-mails em uma hora de trabalho?
Passo 2
Por que usar um modelo probabilístico para isso? Quando chegadas de eventos (aqui, e-mails) ocorrem independentemente umas das outras, com taxa média constante no tempo e a probabilidade de dois ou mais eventos em intervalos infinitesimais é negligenciável, o número de chegadas em um intervalo fixo é bem modelado por uma lei de contagem discreta. Essa lei fornece diretamente a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos num intervalo dado a taxa média
. Vou usar esse modelo porque o enunciado deu uma taxa média por hora e pediu a probabilidade de um número inteiro de chegadas em uma hora — é exatamente o cenário em que esse modelo se aplica.
Passo 3
A fórmula que dá a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos em um intervalo quando a taxa média no intervalo é
é:
Explicando cada símbolo:
-
é a variável aleatória que conta o número de e-mails recebidos em uma hora. -
é a média esperada de eventos no intervalo (aqui ). -
é o número exato de eventos que queremos (aqui ). -
é o fatorial de : . -
é a base dos logaritmos naturais ( ).
Passo 4
Agora aplico a fórmula com
e
:
Calculo as partes numéricas passo a passo (tudo pode ser feito sem calculadora razoavelmente):
-
. -
.
Portanto
Passo 5
Simplifico a fração
:
- Dividindo numerador e denominador por
: . - Em forma decimal isso é
.
Então
Passo 6
Agora preciso de
. Usando
temos
, logo
Multiplicando:
Passo 7
Interpretação final: a probabilidade de receber exatamente 5 e-mails em uma hora, quando a média é 3 por hora, é aproximadamente
, ou cerca de
. Dica para prova: memorize a fórmula
e pratique cálculo de potências e fatoriais rápidos (como
e
), porque isso resolve a maior parte das questões assim.