Suponha que a taxa média de chegada de e-mails em uma empresa é 3 por hora.
Qual é a probablidade de receber exatamente 5 e-mails em uma hora de trabalho?

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte informação e pede uma coisa só:
  • Taxa média de chegada de e-mails: \lambda=3 e-mails por hora (peguei este valor do enunciado).
  • Pergunta: qual a probabilidade de receber exatamente 5 e-mails em uma hora de trabalho?

Passo 2

Por que usar um modelo probabilístico para isso? Quando chegadas de eventos (aqui, e-mails) ocorrem independentemente umas das outras, com taxa média constante no tempo e a probabilidade de dois ou mais eventos em intervalos infinitesimais é negligenciável, o número de chegadas em um intervalo fixo é bem modelado por uma lei de contagem discreta. Essa lei fornece diretamente a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos num intervalo dado a taxa média \lambda. Vou usar esse modelo porque o enunciado deu uma taxa média por hora e pediu a probabilidade de um número inteiro de chegadas em uma hora — é exatamente o cenário em que esse modelo se aplica.

Passo 3

A fórmula que dá a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos em um intervalo quando a taxa média no intervalo é \lambda é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando cada símbolo:
  • X é a variável aleatória que conta o número de e-mails recebidos em uma hora.
  • \lambda é a média esperada de eventos no intervalo (aqui \lambda=3).
  • k é o número exato de eventos que queremos (aqui k=5).
  • k! é o fatorial de k: k!=k\cdot(k-1)\cdots1.
  • e é a base dos logaritmos naturais ( e\approx2,71828).

Passo 4

Agora aplico a fórmula com \lambda=3 e k=5:
P(X=5)=e^{-3}\frac{3^{5}}{5!}.
Calculo as partes numéricas passo a passo (tudo pode ser feito sem calculadora razoavelmente):
  • 3^{5}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=243.
  • 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.
    Portanto
\frac{3^{5}}{5!}=\frac{243}{120}.

Passo 5

Simplifico a fração \dfrac{243}{120}:
  • Dividindo numerador e denominador por 3: \dfrac{243}{120}=\dfrac{81}{40}.
  • Em forma decimal isso é \dfrac{81}{40}=2,025.
    Então
P(X=5)=e^{-3}\cdot 2,025.

Passo 6

Agora preciso de e^{-3}. Usando e\approx2,71828 temos e^{3}\approx20,0855, logo
e^{-3}=\frac{1}{e^{3}}\approx0,049787068.
Multiplicando:
P(X=5)\approx0,049787068\times2,025\approx0,1008188.

Passo 7

Interpretação final: a probabilidade de receber exatamente 5 e-mails em uma hora, quando a média é 3 por hora, é aproximadamente 0,1008, ou cerca de 10{,}08\%. Dica para prova: memorize a fórmula \;P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k}}{k!}\; e pratique cálculo de potências e fatoriais rápidos (como 3^5=243 e 5!=120), porque isso resolve a maior parte das questões assim.

Resposta

P(X=5)=e^{-3}\dfrac{3^{5}}{5!}\approx0,1008188\approx0,1008

Exercícios relacionados