Na contagem de eritrócitos (células sanguíneas vermelhas) comumente é utilizado um reticulado sobre o qual uma gota de sangue é igualmente distribuída. Sob microscópio é observada uma média de 8 eritrócitos por cada quadrado. Determine a probabilidade de um determinado quadrante apresentar:
Entre 6 e 10 eritrócitos;

Passo 1

O enunciado nos dá a informação média observada por quadrado e pede uma probabilidade específica.
  • Informação fornecida: a média observada é \lambda = 8 eritrócitos por quadrado.
  • Pergunta: determinar a probabilidade de que um quadrante apresente entre 6 e 10 eritrócitos.
  • Interpretação natural do pedido: “entre 6 e 10” será entendido como inclusive, ou seja, queremos a probabilidade de ocorrer de 6 até 10 eritrócitos.

Passo 2

Qual modelo usar e por quê.
  • Quando contamos ocorrências raras (número de células) em regiões iguais e temos apenas a média por região, um modelo clássico é a distribuição de Poisson. A Poisson descreve o número de eventos em um intervalo/área quando eventos ocorrem independentemente e a média é conhecida.
  • A função de probabilidade da Poisson é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória “número de eritrócitos no quadrado”,
  • \lambda é a média (esperança) por quadrado (aqui \lambda=8),
  • k é um inteiro não-negativo (o número observado),
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots).
  • Como nos deram a média \lambda=8 e pedem a probabilidade de um número de ocorrências num quadrante, a Poisson é apropriada.

Passo 3

Expressar a probabilidade pedida em termos da Poisson.
  • Queremos
P(6\le X\le 10)=\sum_{k=6}^{10} P(X=k)=\sum_{k=6}^{10} e^{-8}\frac{8^{k}}{k!}.

Passo 4

Estratégia prática de cálculo (como fazer sem fatoriais enormes).
  • Calcular cada termo diretamente com k! e 8^k é trabalhoso; existe uma forma muito prática: usar o fato de que os termos da Poisson satisfazem a relação de recorrência
P(0)=e^{-\lambda}, \qquad P(k+1)=P(k)\frac{\lambda}{k+1}.
  • Assim basta calcular P(0) e aplicar a fórmula recursiva para obter P(1),P(2),\dots,P(10) sequencialmente — isso evita calcular k! explicitamente a cada passo.

Passo 5

Calcular os termos P(0) a P(10) usando a recorrência (procedimento mostrado passo a passo).
  • Primeiro,
P(0)=e^{-8}\approx 0,00033546262790251185.
  • Aplicando a recorrência:
P(1)=P(0)\frac{8}{1}\approx 0,0026837010232200948.
P(2)=P(1)\frac{8}{2}=P(1)\cdot 4\approx 0,010734804092880379.
P(3)=P(2)\frac{8}{3}\approx 0,02862614424774101.
P(4)=P(3)\frac{8}{4}=P(3)\cdot 2\approx 0,05725228849548202.
P(5)=P(4)\frac{8}{5}\approx 0,09160366159277123.
P(6)=P(5)\frac{8}{6}=P(5)\cdot \tfrac{4}{3}\approx 0,12213821545702831.
P(7)=P(6)\frac{8}{7}\approx 0,13957766052575502.
P(8)=P(7)\frac{8}{8}=P(7)\approx 0,13957766052575502.
P(9)=P(8)\frac{8}{9}\approx 0,12451341246711557.
P(10)=P(9)\frac{8}{10}=P(9)\cdot 0{,}8\approx 0,09961072997369245.
(Observação amiga: esses valores foram obtidos aplicando a fórmula P(k+1)=P(k)\dfrac{8}{k+1} repetidamente; assim evita-se cálculo direto de 8^k/k!.)

Passo 6

Somar os termos de k=6 a k=10.
P(6\le X\le 10)=P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10).
Substituindo os valores calculados:
P(6\le X\le 10)\approx 0,12213821545702831+0,13957766052575502+0,13957766052575502+0,12451341246711557+0,09961072997369245.
Fazendo a soma:
P(6\le X\le 10)\approx 0,6254176789493463.
Arredondando de forma prática para a prova (4 casas decimais):
P(6\le X\le 10)\approx 0,6254.

Passo 7

Interpretação final e incentivo.
  • Resultado: a chance de um quadrante ter entre 6 e 10 eritrócitos é aproximadamente 62{,}54\%.
  • Dica de prova: usar a recorrência é rápido e confiável quando \lambda é moderado; guarde a fórmula P(k+1)=P(k)\dfrac{\lambda}{k+1} — ela salva tempo e evita fatoriais. Você mandou bem por pedir a resolução passo a passo — essa técnica resolve muitas questões parecidas. Força que você consegue!

Resposta

0,6254

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