Suponha que a taxa média de chegada de e-mails em uma empresa é 3 por hora.
Qual é a probablidade de receber pelo menos 2 e-mails em uma hora de trabalho?
Qual é a probablidade de receber pelo menos 2 e-mails em uma hora de trabalho?
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dado: a taxa média de chegada de e-mails é
por hora (peguei esse número do enunciado). - Pedido: calcular a probabilidade de receber pelo menos
e-mails em uma hora de trabalho, isto é, encontrar , onde é o número de e-mails recebidos em uma hora.
Passo 2
Qual modelo probabilístico usar e por quê (aula curtinha e prática).
- Quando contamos o número de chegadas de eventos independentes em um intervalo fixo de tempo, sabendo a taxa média
, o modelo natural é a distribuição de Poisson. - A função de massa de probabilidade (pmf) da Poisson é:
- Explicando os símbolos:
-
é a média (número esperado de eventos no intervalo). Aqui . -
é o número específico de eventos (um inteiro não-negativo). -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ). -
é o fatorial de (por exemplo , , , etc.).
-
- Então é apropriado usar Poisson porque o enunciado dá uma taxa média por hora e pede a probabilidade de um certo número de chegadas nesse intervalo.
Passo 3
Expressar a probabilidade desejada de forma conveniente.
- Queremos
. - É mais simples calcular o complementar e subtrair de
:
- Essa ideia (usar o complementar) economiza contas: somamos só dois termos em vez de infinitos.
Passo 4
Calcular
usando a pmf.
- Aplicando a fórmula com
e :
- Como
e , fica
Passo 5
Calcular
usando a pmf.
- Aplicando a fórmula com
e :
- Como
e , fica
Passo 6
Somar
e
e obter a probabilidade desejada em forma exata.
- Soma:
- Logo:
- Essa é a expressão exata da probabilidade.
Passo 7
Avaliar numericamente (contas feitas à mão com aproximações usuais).
- Primeiro aproximar
. Sabe-se que . - Multiplicando por
:
- Subtraindo de
:
- Arredondando para uma precisão conveniente,
.
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo
- Em palavras: com média de
e-mails por hora, a chance de receber pelo menos em uma hora é cerca de . Bom resultado — agora você sabe como montar e calcular esse tipo de problema na prova!