Suponha que a taxa média de chegada de e-mails em uma empresa é 3 por hora.
Qual é a probablidade de receber pelo menos 2 e-mails em uma hora de trabalho?

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dado: a taxa média de chegada de e-mails é \lambda = 3 por hora (peguei esse número do enunciado).
  • Pedido: calcular a probabilidade de receber pelo menos 2 e-mails em uma hora de trabalho, isto é, encontrar P(X \ge 2), onde X é o número de e-mails recebidos em uma hora.

Passo 2

Qual modelo probabilístico usar e por quê (aula curtinha e prática).
  • Quando contamos o número de chegadas de eventos independentes em um intervalo fixo de tempo, sabendo a taxa média \lambda, o modelo natural é a distribuição de Poisson.
  • A função de massa de probabilidade (pmf) da Poisson é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}
  • Explicando os símbolos:
    • \lambda é a média (número esperado de eventos no intervalo). Aqui \lambda=3.
    • k é o número específico de eventos (um inteiro não-negativo).
    • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots).
    • k! é o fatorial de k (por exemplo 0!=1, 1!=1, 2!=2, etc.).
  • Então é apropriado usar Poisson porque o enunciado dá uma taxa média por hora e pede a probabilidade de um certo número de chegadas nesse intervalo.

Passo 3

Expressar a probabilidade desejada de forma conveniente.
  • Queremos P(X \ge 2).
  • É mais simples calcular o complementar e subtrair de 1:
P(X \ge 2)=1-P(X \le 1)=1-\bigl(P(X=0)+P(X=1)\bigr).
  • Essa ideia (usar o complementar) economiza contas: somamos só dois termos em vez de infinitos.

Passo 4

Calcular P(X=0) usando a pmf.
  • Aplicando a fórmula com k=0 e \lambda=3:
P(X=0)=e^{-3}\frac{3^{0}}{0!}.
  • Como 3^{0}=1 e 0!=1, fica
P(X=0)=e^{-3}.

Passo 5

Calcular P(X=1) usando a pmf.
  • Aplicando a fórmula com k=1 e \lambda=3:
P(X=1)=e^{-3}\frac{3^{1}}{1!}.
  • Como 3^{1}=3 e 1!=1, fica
P(X=1)=3e^{-3}.

Passo 6

Somar P(X=0) e P(X=1) e obter a probabilidade desejada em forma exata.
  • Soma:
P(X=0)+P(X=1)=e^{-3}+3e^{-3}=4e^{-3}.
  • Logo:
P(X\ge 2)=1-4e^{-3}.
  • Essa é a expressão exata da probabilidade.

Passo 7

Avaliar numericamente (contas feitas à mão com aproximações usuais).
  • Primeiro aproximar e^{-3}. Sabe-se que e^{-3}\approx 0,049787068.
  • Multiplicando por 4:
4e^{-3}\approx 4\cdot 0,049787068 \approx 0,199148272.
  • Subtraindo de 1:
P(X\ge 2)=1-4e^{-3}\approx 1-0,199148272\approx 0,800851728.
  • Arredondando para uma precisão conveniente, P(X\ge 2)\approx 0,8009.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo
  • Em palavras: com média de 3 e-mails por hora, a chance de receber pelo menos 2 em uma hora é cerca de 80{,}1\%. Bom resultado — agora você sabe como montar e calcular esse tipo de problema na prova!

Resposta

1 - 4e^{-3} \approx 0,800851728

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