Suponha que a temperatura de cada ponto de uma placa de metal seja dada pela função
.
- Determine qual a taxa de variação da temperatura em
, na direção do ponto
.
- Em que direção a partir da origem a temperatura cresce o mais rapidamente?
Passo 1
O enunciado nos dá a função de temperatura
e pede duas coisas: calcular a taxa de variação direcional de
em
na direção do ponto
e encontrar a direção de crescimento mais rápido da temperatura a partir da origem. Vamos precisar usar o conceito de gradiente e de derivada direcional.
Passo 2
Para encontrar o gradiente de
, calculamos as derivadas parciais
e
. A definição é que o gradiente é o vetor formado por essas derivadas:
Derivando:
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em
. Substituindo
e
:
Logo,
.
Passo 4
Precisamos da direção unitária que aponta de
para
. O vetor é
e seu comprimento é
. Assim a unidade direcional é
Passo 5
A derivada direcional de
em
na direção
é o produto escalar
:
Passo 6
A direção de crescimento mais rápido da temperatura em um ponto é a direção do gradiente. Em
, temos
. O vetor unitário na direção do gradiente é
Resposta
A taxa de variação direcional em (0,0) rumo a (3,4) é
. A direção de crescimento mais rápido na origem é o vetor unitário
.