Suponha que a temperatura de cada ponto de uma placa de metal seja dada pela função T(x, y)=e^x cos y+e^x sin y.
  1. Determine qual a taxa de variação da temperatura em (0,0), na direção do ponto (3,4).
  2. Em que direção a partir da origem a temperatura cresce o mais rapidamente?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de temperatura T(x,y)=e^xcos y+e^xsin y e pede duas coisas: calcular a taxa de variação direcional de T em (0,0) na direção do ponto (3,4) e encontrar a direção de crescimento mais rápido da temperatura a partir da origem. Vamos precisar usar o conceito de gradiente e de derivada direcional.

Passo 2

Para encontrar o gradiente de T, calculamos as derivadas parciais dfracpartial Tpartial x e dfracpartial Tpartial y. A definição é que o gradiente é o vetor formado por essas derivadas:
nabla T(x,y)=(partial Tpartial x,partial Tpartial y)
Derivando:
partial Tpartial x=e^xcos y+e^xsin y=e^x(cos y+sin y),
partial Tpartial y=-e^xsin y+e^xcos y=e^x(cos y-sin y)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (0,0). Substituindo x=0 e y=0:
e^0(cos0+sin0)=1cdot(1+0)=1,
e^0(cos0-sin0)=1cdot(1-0)=1
Logo, nabla T(0,0)=(1,1).

Passo 4

Precisamos da direção unitária que aponta de (0,0) para (3,4). O vetor é (3,4) e seu comprimento é raiz3^2+4^2=5. Assim a unidade direcional é
u=l(tfrac35,tfrac45r)

Passo 5

A derivada direcional de T em (0,0) na direção u é o produto escalar nabla T(0,0)cdot u:
DuT(0,0)=(1,1)cdotl(tfrac35,tfrac45r)=tfrac35+tfrac45=tfrac75

Passo 6

A direção de crescimento mais rápido da temperatura em um ponto é a direção do gradiente. Em (0,0), temos nabla T(0,0)=(1,1). O vetor unitário na direção do gradiente é
nabla T(0,0)|nabla T(0,0)|=(1,1)raiz1^2+1^2=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Resposta

A taxa de variação direcional em (0,0) rumo a (3,4) é 7/5. A direção de crescimento mais rápido na origem é o vetor unitário (1/raiz2,1/raiz2).

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