Seja f: A subseteq R^2 R diferenciável em (x0, y0) in A e alpha:(-epsilon, epsilon) A uma curva diferenciável tal que alpha(0)=(x0, y0) e alpha^prime(0)=v. Prove que partial fpartial v(x0, y0)=dd t|t=0 f(alpha(t)).

Passo 1

A questão pede para mostrar que a derivada direcional de f em (x₀,y₀) na direção v é igual à derivada em t=0 da função composta g(t)=f(α(t)). O conteúdo principal é derivada direcional e regra da cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Definimos a derivada direcional de f em (x₀,y₀) na direção v como o diferencial total aplicado a v, isto é, partial fpartial vec v(x₀,y₀)=Df(x₀,y₀)(vec v). Como f é diferenciável, existe o gradiente ∇f(x₀,y₀) e vale Df(x₀,y₀)(vec v)=nabla f(x₀,y₀)cdotvec v.
Consideramos a função composta g(t)=f(α(t)). Pela regra da cadeia para funções de várias variáveis segue que
g'(t)=Df(α(t))(α'(t))=nabla f(α(t))cdot α'(t)

Passo 3

Avaliamo-lo em t=0. Como α(0)=(x₀,y₀) e α’(0)=\vec v, obtemos g'(0)=nabla f(x₀,y₀)cdotvec v=Df(x₀,y₀)(vec v)=partial fpartialvec v(x₀,y₀) Logo a derivada direcional coincide com g'(0), que é ddt|t=0f(α(t)).

Resposta

partial fpartial vec v(x0,y0)=ddt|t=0f(alpha(t))

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