Seja diferenciável em e uma curva diferenciável tal que e . Prove que .
Passo 1
A questão pede para mostrar que a derivada direcional de f em (x₀,y₀) na direção v é igual à derivada em t=0 da função composta g(t)=f(α(t)). O conteúdo principal é derivada direcional e regra da cadeia em funções de várias variáveis.
Passo 2
Definimos a derivada direcional de f em (x₀,y₀) na direção v como o diferencial total aplicado a v, isto é, partial fpartial vec v(x₀,y₀)=Df(x₀,y₀)(vec v)₀₀₀₀. Como f é diferenciável, existe o gradiente ∇f(x₀,y₀) e vale Df(x₀,y₀)(vec v)=nabla f(x₀,y₀)cdotvec v₀₀₀₀.
Consideramos a função composta g(t)=f(α(t)). Pela regra da cadeia para funções de várias variáveis segue que
g'(t)=Df(α(t))(α'(t))=nabla f(α(t))cdot α'(t)
Passo 3
Avaliamo-lo em t=0. Como α(0)=(x₀,y₀) e α’(0)=\vec v, obtemos g'(0)=nabla f(x₀,y₀)cdotvec v=Df(x₀,y₀)(vec v)=partial fpartialvec v(x₀,y₀)₀₀₀₀₀₀ Logo a derivada direcional coincide com g'(0), que é ddt|t=0f(α(t)).