Considere a função abaixo:
f(x, y)= x^3 y-x y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
a) Determine fx(x, y) e fy(x, y) quando (x, y) neq(0,0).
b) Determine fx(0,0) e fy(0,0) usando a definição.
c) Mostre que o Teorema de Clairaut-Schwarz não é satisfeito na origem, isto é, fx y(0,0) neq fy x(0,0).

Passo 1

A função é dada por f(x,y)=x^3y-xy^3x^2+y^2 para (x,y)neq(0,0) e f(0,0)=0. O objetivo é: (a) calcular as derivadas parciais fx e fy em (x,y)neq(0,0); (b) obter fx(0,0) e fy(0,0) pela definição; © verificar que fxy(0,0)neq fyx(0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), aplicamos a regra do quociente em f(x,y)=N(x,y)D(x,y) com N=x^3y-xy^3 e D=x^2+y^2. Calculamos
partial Npartial x=3x^2y-y^3, partial Dpartial x=2x,
fx=D,(3x^2y-y^3)-N,(2x)D^2 =yl(x^4+4x^2y^2-y^4r)(x^2+y^2)^2
De forma análoga,
fy=(x^2+y^2)(x^3-3xy^2)-(x^3y-xy^3),2y(x^2+y^2)^2 =xl(x^4-4x^2y^2-y^4r)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Para a origem, usamos a definição
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=0

Passo 4

Para os mistos na origem, extraímos de fx(x,y) e fy(x,y):
em x=0 obtemos fx(0,y)=-y, então
fxy(0,0)=limyto0fx(0,y)-0y=-1
em y=0 obtemos fy(x,0)=x, então
fyx(0,0)=limxto0fy(x,0)-0x=1
Logo fxy(0,0)=-1neq1=fyx(0,0), portanto o teorema de Clairaut falha na origem.

Resposta

fx(x,y)=yl(x^4+4x^2y^2-y^4r)(x^2+y^2)^2, fy(x,y)=xl(x^4-4x^2y^2-y^4r)(x^2+y^2)^2, fx(0,0)=0, fy(0,0)=0, fxy(0,0)=-1, fyx(0,0)=1

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