Considere a função abaixo:
a) Determine
e
quando
.
b) Determine
e
usando a definição.
c) Mostre que o Teorema de Clairaut-Schwarz não é satisfeito na origem, isto é,
.
b) Determine
c) Mostre que o Teorema de Clairaut-Schwarz não é satisfeito na origem, isto é,
Passo 1
A função é dada por
para
e
. O objetivo é: (a) calcular as derivadas parciais
e
em
; (b) obter
e
pela definição; © verificar que
.
Passo 2
Para
, aplicamos a regra do quociente em
com
e
. Calculamos
De forma análoga,
Passo 3
Para a origem, usamos a definição
Passo 4
Para os mistos na origem, extraímos de
e
:
em obtemos
, então
em
em
obtemos
, então
Logo
, portanto o teorema de Clairaut falha na origem.