Suponha que a temperatura em graus Celsius em um ponto (x, y) de uma lâmina de metal plana seja T(x, y)=5 x y+x^{2}, onde x e y estão dados em metros. Encontre a temperatura média da porção da lâmina em forma de diamante determinada por |2 x+y| \leq 4 e |2 x-y| \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura média da lâmina sobre a região
R = \{(x,y)\mid |2x+y|\le4,\;|2x-y|\le4\}
para a função
T(x,y)=5xy+x^{2}.
O conteúdo principal aqui é valor médio de função de duas variáveis, dado por
\overline{T}=\frac{1}{\text{Area}(R)}\iint_{R}T(x,y)\,dA,
e usaremos mudança de variáveis para simplificar o domínio.

Passo 2

Definimos
u=2x+y,\quad v=2x-y,
de modo que o domínio em (u,v) seja o retângulo \{|u|\le4,\;|v|\le4\}.
Para encontrar a área de R, calculamos o jacobiano da transformação inversa
x=\frac{u+v}{4},\quad y=\frac{u-v}{2}.
O determinante da matriz
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} \tfrac14 & \tfrac14\\[6pt] \tfrac12 & -\tfrac12 \end{vmatrix} =-\tfrac14
tem valor absoluto \tfrac14. Assim
dA = \bigl|\det J\bigr|\,du\,dv = \frac14\,du\,dv
e a área de R é
\iint_{R}dA = \int_{-4}^{4}\!\!\int_{-4}^{4}\frac14\,du\,dv = \frac14\cdot(8\cdot8)=16.]

Passo 3

Expressamos T em função de (u,v). Como
x=\frac{u+v}{4},\quad y=\frac{u-v}{2},
temos
xy=\frac{(u+v)(u-v)}{8}=\frac{u^{2}-v^{2}}{8}, \quad x^{2}=\frac{(u+v)^{2}}{16}.
Portanto
T(x,y)=5xy+x^{2} =\frac{5}{8}(u^{2}-v^{2})+\frac{(u+v)^{2}}{16}.

Passo 4

Calculamos a integral de T em R por mudança de variáveis:
\iint_{R}T(x,y)\,dA =\int_{-4}^{4}\!\!\int_{-4}^{4} \Bigl[\tfrac{5}{8}(u^{2}-v^{2})+\tfrac{(u+v)^{2}}{16}\Bigr] \cdot\frac14\,du\,dv.
Note que
\int_{-4}^{4}\!\!\int_{-4}^{4}(u^{2}-v^{2})\,du\,dv=0
por simetria, e
\int_{-4}^{4}\!\!\int_{-4}^{4}(u+v)^{2}\,du\,dv =\int\!u^{2}+\int\!v^{2} =2\cdot\frac{1024}{3}=\frac{2048}{3}.
Assim
\iint_{R}T\,dA =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{2048}{3} =\frac{32}{3}.

Passo 5

O valor médio é
\overline{T} =\frac{1}{\text{Area}(R)}\iint_{R}T\,dA =\frac{\tfrac{32}{3}}{16} =\frac{2}{3}.

Resposta

\tfrac{2}{3} (graus Celsius)

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