- Considere a curva
, descrita por
, e orientada de ( 4,0 ) para ( 2,0 ).
Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
sobre a curva dada por
sobre a curva
orientada de
para
.
Note que essa equação é a semicircunferência superior de centro e raio
.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green (em região plana) e cálculo de integrais de linha em segmentos retos.
Note que essa equação é a semicircunferência superior de centro
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green (em região plana) e cálculo de integrais de linha em segmentos retos.
Passo 2
Para aplicar Green precisamos de uma curva fechada. Vamos juntar
com o segmento
de reta que vai de
a
. Chamemos essa curva fechada de
:
Perceba que
está percorrida no sentido horário, de modo que o Teorema de Green dá
onde
Passo 3
Calculemos o “rotacional” da forma:
Logo
A região
é o meio disco de raio
, área
.
Portanto
Portanto
e assim
Passo 4
Agora separamos
em
mais
. No segmento
temos
,
e
,
de
a
, logo
mas
, então
Passo 5
Como
têm-se