Suponha que a temperatura num ponto (x, y, z) do espaço esteja sendo medida por T(x, y, z)=x y e^-y z e que um pernilongo que esteja localizado no ponto (1,1,0).
Qual a direção e sentido que o pernilongo deveria voar para que a temperatura sentida por ele esfrie o máximo possível?

Passo 1

O exercício pede para encontrar a direção em que a temperatura cai mais rápido a partir do ponto (1,1,0). Como a temperatura é dada por T(x,y,z)=x y e^{-y z}, vamos usar o conceito de gradiente: o vetor gradiente ∇T aponta na direção de maior aumento de T e o seu negativo indica a direção de maior diminuição (resfriamento).

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais de T(x,y,z)=x y e^{-y z}. Usando regra do produto e cadeia, temos:
partial Tpartial x=y e^-y z
partial Tpartial y=x e^-y z+x y(-z)e^-y z=x e^-y z(1 - y z)
partial Tpartial z=x y(-y)e^-y z=-x y^2 e^-y z

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (1,1,0). Como e^{-1·0}=1, isso dá:
partial Tpartial x(1,1,0)=1
partial Tpartial y(1,1,0)=1
partial Tpartial z(1,1,0)=-1

Passo 4

O gradiente em (1,1,0) fica ∇T(1,1,0)=(1,1,-1). A direção de maior resfriamento é o vetor negativo do gradiente: (-1,-1,1).
Para ter um vetor de comprimento unitário, dividimos por seu módulo. Como ||(-1,-1,1)||=\sqrt{12+12+(-1)^2}=\sqrt3, o vetor unitário é (-1/√3,-1/√3,1/√3).

Resposta

O vetor unitário na direção de maior resfriamento é l(-tfrac1raiz3, -tfrac1raiz3, tfrac1raiz3r).

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