Encontre a solução geral da equação
(Resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e um lado não homogêneo. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar trabalhar com equações diferenciais lineares e entender como encontrar soluções para termos polinomiais e trigonométricos no lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, vamos igualar o lado direito a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, buscamos soluções na forma
. Substituindo na equação, temos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Então, os valores de
são:
Passo 4
Com esses valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem fornecidas).
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
O lado direito tem dois termos: um polinomial
e um termo trigonométrico
. Vamos encontrar soluções particulares para cada um separadamente e depois somá-las.
Passo 6
Primeiro, para o termo polinomial
, vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde
,
e
são constantes a serem determinadas.
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para o termo polinomial é:
Passo 7
Agora, para o termo trigonométrico
, vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando mais:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então, a solução particular para o termo trigonométrico é:
Passo 8
Finalmente, juntando as soluções homogênea e particular, a solução geral da equação diferencial é: