Encontre a solução geral da equação
2 y^prime prime+3 y^prime+y=t^2+3 sen t (Resposta y(t)=c1 e^-t+c2 e^-t / 2+t^2-6 t+ 14-310 sen t-910 cos t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e um lado não homogêneo. A equação é:
2 y'' + 3 y' + y = t^2 + 3 sin t
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar trabalhar com equações diferenciais lineares e entender como encontrar soluções para termos polinomiais e trigonométricos no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, vamos igualar o lado direito a zero:
2 y'' + 3 y' + y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, buscamos soluções na forma y = e^rt. Substituindo na equação, temos a equação característica:
2 r^2 + 3 r + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 2, b = 3 e c = 1:
r = -3 pm raiz9 - 84 = -3 pm 14
Então, os valores de r são:
r1 = -1
r2 = -12

Passo 4

Com esses valores de r, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = c1 e^-t + c2 e^-t2
Aqui, c1 e c2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem fornecidas).

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa:
2 y'' + 3 y' + y = t^2 + 3 sin t
O lado direito tem dois termos: um polinomial t^2 e um termo trigonométrico 3 sin t. Vamos encontrar soluções particulares para cada um separadamente e depois somá-las.

Passo 6

Primeiro, para o termo polinomial t^2, vamos assumir que a solução particular tem a forma:
yp1(t) = At^2 + Bt + C
Onde A, B e C são constantes a serem determinadas.
Vamos calcular as derivadas:
yp1'(t) = 2At + B
yp1''(t) = 2A
Substituindo na equação:
2(2A) + 3(2At + B) + (At^2 + Bt + C) = t^2
Simplificando:
4A + 6At + 3B + At^2 + Bt + C = t^2
Agrupando os termos semelhantes:
At^2 + (6A + B)t + (4A + 3B + C) = t^2
Igualando os coeficientes:
A = 1
6A + B = 0 Rightarrow B = -6
4A + 3B + C = 0 Rightarrow 4(1) + 3(-6) + C = 0 Rightarrow C = 14
Então, a solução particular para o termo polinomial é:
yp1(t) = t^2 - 6t + 14

Passo 7

Agora, para o termo trigonométrico 3 sin t, vamos assumir que a solução particular tem a forma:
yp2(t) = D sin t + E cos t
Onde D e E são constantes a serem encontradas.
Calculando as derivadas:
yp2'(t) = D cos t - E sin t
yp2''(t) = -D sin t - E cos t
Substituindo na equação:
2(-D sin t - E cos t) + 3(D cos t - E sin t) + (D sin t + E cos t) = 3 sin t
Simplificando:
-2D sin t - 2E cos t + 3D cos t - 3E sin t + D sin t + E cos t = 3 sin t
Agrupando os termos semelhantes:
(-2D - 3E + D) sin t + (-2E + 3D + E) cos t = 3 sin t
Simplificando mais:
(-D - 3E) sin t + (3D - E) cos t = 3 sin t
Igualando os coeficientes:
-D - 3E = 3
3D - E = 0
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: E = 3D
Substituindo na primeira:
-D - 3(3D) = 3 Rightarrow -D - 9D = 3 Rightarrow -10D = 3 Rightarrow D = -310
E = 3 (-310) = -910
Então, a solução particular para o termo trigonométrico é:
yp2(t) = -310 sin t - 910 cos t

Passo 8

Finalmente, juntando as soluções homogênea e particular, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = c1 e^-t + c2 e^-t2 + t^2 - 6t + 14 - 310 sin t - 910 cos t

Resposta

y(t) = c1 e^-t + c2 e^-t2 + t^2 - 6 t + 14 - 310 sin t - 910 cos t

Exercícios relacionados