Encontre a solução do Problema de Valor Inicial.
y^prime prime+y^prime-2 y=2 t, para y(0)=0, y^prime(0)=1 (Resposta y(t)=e^-t- 12 e^-2 t-t-12)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão pede para encontrar a solução da equação diferencial $ y’’ + y’ - 2y = 2t $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especialmente envolvendo a solução geral que combina a solução homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é $ y’’ + y’ - 2y = 0 $. Para isso, encontramos a equação característica associada:
y'' + y' - 2y = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
r^2 + r - 2 = 0
Portanto, as raízes são $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = -2 $.

Passo 3

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
yh(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^-2t
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + y’ - 2y = 2t yp(t) éçã 2t $), vamos supor que a solução particular também seja polinomial. Vamos tentar:
y'' + y' - 2y = 2t
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar substituindo $ y_p(t) $ na equação original.

Passo 5

Calculando as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
yp'(t) = A
Substituindo na equação diferencial:
yp''(t) = 0
0 + A - 2(At + B) = 2t
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para $ t $:
A - 2At - 2B = 2t
Para os termos constantes:
t
Então, a solução particular é:
-2A = 2 Rightarrow A = -1

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-2t - t - 12

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 0 $:
C1
C2
y(0) = 0 \quad (1)
Segundo, vamos encontrar $ y’(t) $:
0 = C1 e^0 + C2 e^0 - 0 - 12
Aplicamos $ y’(0) = 1 $:
0 = C1 + C2 - 12
C1 + C2 = 12
y'(t) \quad (2)

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (1):
C1 = 12 - C2
Substituímos na equação (2):
( 12 - C2 ) - 2C2 = 2
12 - 3C2 = 2
-3C2 = 32
C2 = -12
Substituindo $ C_2 $ na equação (1):
C2
C1 - 12 = 12

Resposta

Portanto, a solução do problema de valor inicial é:
y(t) = e^t - 12 e^-2t - t - 12

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