Encontre a solução do Problema de Valor Inicial.
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(Resposta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão pede para encontrar a solução da equação diferencial $ y’’ + y’ - 2y = 2t $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especialmente envolvendo a solução geral que combina a solução homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é $ y’’ + y’ - 2y = 0 $. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Portanto, as raízes são $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = -2 $.
Passo 3
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + y’ - 2y = 2t
2t $), vamos supor que a solução particular também seja polinomial. Vamos tentar:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar substituindo $ y_p(t) $ na equação original.
Passo 5
Calculando as derivadas de $ y_p(t) $:
Substituindo na equação diferencial:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para $ t $:
Para os termos constantes:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 0 $:
Segundo, vamos encontrar $ y’(t) $:
Aplicamos $ y’(0) = 1 $:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (1):
Substituímos na equação (2):
Substituindo $ C_2 $ na equação (1):
Resposta
Portanto, a solução do problema de valor inicial é: