Suponha que o tempo T entre chamadas em um dado sistema tenha uma distribuição exponencial com um valor médio de 10 segundos.
Qual é a probabilidade de que T não exceda 60 segundos?

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • O tempo T entre chamadas segue uma distribuição exponencial.
  • O valor médio (esperança) é \mathbb{E}[T]=10 segundos.
O que o enunciado pede:
  • A probabilidade de que T não exceda 60 segundos, isto é, calcular P(T \le 60).

Passo 2

Definição e parâmetro da distribuição exponencial (aula rápida e prática).
  • A distribuição exponencial é usada para modelar tempos de espera entre eventos que ocorrem de forma aleatória e independente.
  • A função densidade de probabilidade (PDF) da exponencial é, para t\ge 0,
f(t)=\lambda e^{-\lambda t},
onde \lambda>0 é a taxa (parâmetro) da distribuição.
  • A esperança (média) dessa distribuição vale
\mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}.
Portanto, conhecendo a média, obtém-se \lambda por inverso da média.
Aplicando ao caso dado:
  • Como \mathbb{E}[T]=10, então
\lambda=\frac{1}{10}=0,1\\ (\text{s}^{-1}).

Passo 3

Derivação da função de distribuição acumulada (CDF) e interpretação.
  • A CDF F(t) P(T\le t). Para a exponencial,
F(t)=\int_{0}^{t}\lambda e^{-\lambda s}\,ds.
  • Calculando a integral:
F(t)=\left[-e^{-\lambda s}\right]_{s=0}^{s=t}=1-e^{-\lambda t}.
  • Ou seja, para todo t\ge 0,
P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao tempo pedido t=60.
  • Substituindo \lambda=0,1 e t=60,
P(T\le 60)=1-e^{-0,1\cdot 60}=1-e^{-6}.

Passo 5

Cálculo numérico aproximado (como estimar sem calculadora).
  • Pode-se estimar e^{6} usando e^{2}\approx 7{,}389, logo e^{6}=(e^{2})^{3}\approx 7{,}389^{3}.
  • Calculando aproximadamente: 7{,}389^{2}\approx 54{,}598 e 54{,}598\times 7{,}389\approx 403{,}429. Assim e^{6}\approx 403{,}429.
  • Então e^{-6}\approx \dfrac{1}{403{,}429}\approx 0{,}00247875.
  • Portanto
P(T\le 60)=1-e^{-6}\approx 1-0{,}00247875\approx 0{,}99752125.
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais: 0{,}9975, que corresponde a 99{,}75\%.

Resposta

P(T\le 60)=1-e^{-6}\approx 0{,}9975 (ou seja, aproximadamente 99{,}75\%).

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