Suponha que o tempo
entre chamadas em um dado sistema tenha uma distribuição exponencial com um valor médio de 10 segundos.
Qual é a probabilidade de que
não exceda 60 segundos?
Qual é a probabilidade de que
Passo 1
O que o enunciado dá:
- O tempo
entre chamadas segue uma distribuição exponencial. - O valor médio (esperança) é
segundos.
O que o enunciado pede:
- A probabilidade de que
não exceda 60 segundos, isto é, calcular .
Passo 2
Definição e parâmetro da distribuição exponencial (aula rápida e prática).
- A distribuição exponencial é usada para modelar tempos de espera entre eventos que ocorrem de forma aleatória e independente.
- A função densidade de probabilidade (PDF) da exponencial é, para
,
onde
é a taxa (parâmetro) da distribuição.
- A esperança (média) dessa distribuição vale
Portanto, conhecendo a média, obtém-se
por inverso da média.
Aplicando ao caso dado:
- Como
, então
Passo 3
Derivação da função de distribuição acumulada (CDF) e interpretação.
- A CDF
dá . Para a exponencial,
- Calculando a integral:
- Ou seja, para todo
,
Passo 4
Aplicar a fórmula ao tempo pedido
.
- Substituindo
e ,
Passo 5
Cálculo numérico aproximado (como estimar sem calculadora).
- Pode-se estimar
usando , logo . - Calculando aproximadamente:
e . Assim . - Então
. - Portanto
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais:
, que corresponde a
.