Suponha que o tempo
entre chamadas em um dado sistema tenha uma distribuição exponencial com um valor médio de 10 segundos.
Calcule a probabilidade de que
exceda um minuto e meio.
Calcule a probabilidade de que
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Tempo entre chamadas
tem distribuição exponencial. - Valor médio de
é segundos, isto é . - Pergunta: qual é a probabilidade de que
exceda um minuto e meio?
Dados relevantes extraídos do enunciado:
-
(segundos). - Um minuto e meio é
minuto segundos, ou seja (segundos).
Passo 2
Apresentar a fórmula útil da distribuição exponencial e explicar o que os símbolos significam.
Para uma variável aleatória
com distribuição exponencial com parâmetro
:
- a função densidade de probabilidade é
para ; - a esperança (média) é
.
Explicando cada símbolo:
-
é a taxa (unidade: por segundo aqui), ou seja a frequência média de eventos por unidade de tempo; -
é o tempo (em segundos); -
dá a densidade, que quando integrada em um intervalo dá a probabilidade desse intervalo.
Breve demonstração do fato
(isso ajuda a entender de onde vem a relação com a média):
Fazendo integração por partes com
e
obtém-se
Passo 3
Determinar
a partir da média fornecida.
Como
(segundos), temos
Passo 4
Escrever a probabilidade pedida em termos da função de sobrevivência (comentar o porquê).
A probabilidade de que
exceda um tempo
é a função de sobrevivência
Aqui
é a variável de integração e
é a taxa acima determinada.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao caso concreto
segundos.
Substituindo
e
na expressão da sobrevivência:
Passo 6
Interpretação rápida (motivacional): o valor
é muito pequeno, ou seja, se o tempo médio entre chamadas é
segundos, é extremamente improvável aguardar tanto quanto um minuto e meio sem receber uma chamada — isso está refletido no fator exponencial
.