Suponha que o tempo T entre chamadas em um dado sistema tenha uma distribuição exponencial com um valor médio de 10 segundos.
Calcule a probabilidade de que T exceda um minuto e meio.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Tempo entre chamadas T tem distribuição exponencial.
  • Valor médio de T é 10 segundos, isto é \mathbb{E}[T]=10.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que T exceda um minuto e meio?
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • \mathbb{E}[T]=10 (segundos).
  • Um minuto e meio é 1{,}5 minuto = 90 segundos, ou seja t=90 (segundos).

Passo 2

Apresentar a fórmula útil da distribuição exponencial e explicar o que os símbolos significam.
Para uma variável aleatória T com distribuição exponencial com parâmetro \lambda>0:
  • a função densidade de probabilidade é \displaystyle f(t)=\lambda e^{-\lambda t} para t\ge0;
  • a esperança (média) é \displaystyle \mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}.
Explicando cada símbolo:
  • \lambda é a taxa (unidade: por segundo aqui), ou seja a frequência média de eventos por unidade de tempo;
  • t é o tempo (em segundos);
  • f(t) dá a densidade, que quando integrada em um intervalo dá a probabilidade desse intervalo.
Breve demonstração do fato \mathbb{E}[T]=1/\lambda (isso ajuda a entender de onde vem a relação com a média):
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} t\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Fazendo integração por partes com u=t e dv=\lambda e^{-\lambda t}dt obtém-se
\mathbb{E}[T]=\left[-t e^{-\lambda t}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt=0+\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\lambda}.

Passo 3

Determinar \lambda a partir da média fornecida.
Como \mathbb{E}[T]=\dfrac{1}{\lambda}=10 (segundos), temos
\lambda=\frac{1}{10}\quad\text{(por segundo)}.

Passo 4

Escrever a probabilidade pedida em termos da função de sobrevivência (comentar o porquê).
A probabilidade de que T exceda um tempo t é a função de sobrevivência
\mathbb{P}(T>t)=\int_{t}^{\infty}\lambda e^{-\lambda s}\,ds=e^{-\lambda t}.
Aqui s é a variável de integração e \lambda é a taxa acima determinada.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao caso concreto t=90 segundos.
Substituindo \lambda=\dfrac{1}{10} e t=90 na expressão da sobrevivência:
\mathbb{P}(T>90)=e^{-\lambda\cdot 90}=e^{-\frac{1}{10}\cdot 90}=e^{-9}.

Passo 6

Interpretação rápida (motivacional): o valor e^{-9} é muito pequeno, ou seja, se o tempo médio entre chamadas é 10 segundos, é extremamente improvável aguardar tanto quanto um minuto e meio sem receber uma chamada — isso está refletido no fator exponencial e^{-9}.

Resposta

e^{-9}\approx0,00012341

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