A distribuição do tempo de vida X, em horas, de uma bateria para um laptop é modelado por uma v.a. normal de média 3,5 e desvio padrão 0,4 . Calcule o tempo de vida de segurança da bateria, o qual é definido ser o 10^{\mathrm{o}} percentil da distribuição, isto é, o valor c tal que P(X \leq c)=0,1.

Passo 1

O enunciado pede o valor c tal que P(X \leq c)=0,1. Informações fornecidas:
  • A variável aleatória X (tempo de vida da bateria, em horas) é normalmente distribuída com média \mu=3,5 e desvio padrão \sigma=0,4.
  • Queremos o 10^{\mathrm{o}} percentil da distribuição, isto é, o valor c que satisfaz P(X \leq c)=0,1.

Passo 2

Ideia do método (sem calcular ainda): para trabalhar com probabilidades da normal usamos a normal padrão Z, que tem média 0 e desvio padrão 1. Padroniza-se X subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão. Definição da padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
Aqui \mu é a média de X e \sigma é o desvio padrão de X. A razão de padronizar é que tabelas e funções invertidas dão probabilidades e quantis para Z, não diretamente para X.

Passo 3

Aplicar a padronização ao evento que define c. Partimos de
P(X\le c)=0,1
Padronizando,
P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le \frac{c-\mu}{\sigma}\right)=0,1
ou seja
P\!\left(Z\le \frac{c-\mu}{\sigma}\right)=0,1
Substituindo \mu=3,5 e \sigma=0,4 obtemos
P\!\left(Z\le \frac{c-3,5}{0,4}\right)=0,1

Passo 4

Agora introduzimos o quantil da normal padrão. Seja z_{0,1} o número tal que
P(Z\le z_{0,1})=0,1.
Esse valor pode ser obtido em tabela da normal padrão ou por função inversa de uma calculadora estatística. O valor conhecido é aproximadamente
z_{0,1}\approx -1,28155.
Observação intuitiva: o quantil é negativo porque 0,1<0,5, ou seja, estamos à esquerda da média da normal padrão.

Passo 5

Igualando os argumentos da probabilidade obtemos
\frac{c-3,5}{0,4}=z_{0,1}\approx -1,28155.
Despejando c,
c=3,5+0,4\cdot z_{0,1}.
Calculando passo a passo:
0,4\cdot(-1,28155)=-0,51262\\ (\text{aprox.})
c=3,5-0,51262=2,98738\\ (\text{aprox.})
Arredondando para duas casas decimais:
c\approx 2,99\\ \text{horas}.

Passo 6

Interpretação final didática e rápida: o tempo de vida de segurança c\approx 2,99 horas significa que aproximadamente 10\% das baterias falham antes de atingir 2,99 horas de uso. Isso é o que se espera do 10^{\mathrm{o}} percentil.

Resposta

c\approx 2,99\\ \text{horas}

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