Suponha que o tempo necessário para resposta de requisição de um servidor remoto siga uma distribuição normal de média de 850 ms e desvio padrão de 150 ms .
a. Qual é a probabilidade da resposta à requisição seja inferior a 1 segundo?
b. Determine a probabilidade do tempo de resposta estar entre 700 e 900 ms ;
c. Qual o tempo de resposta máximo de 95 \% das requisições?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de resposta X de um servidor segue uma distribuição normal com média \mu=850 ms e desvio padrão \sigma=150 ms. Precisamos calcular:
  1. \mathbb{P}(X<1000).
  2. \mathbb{P}(700<X<900).
  3. O percentil de 95\%, ou seja, o valor x_{0.95} tal que \mathbb{P}(X\le x_{0.95})=0{,}95.
    Para isso, vamos padronizar usando a variável Z=(X-\mu)/\sigma que é \mathcal{N}(0,1), e consultar a função de distribuição acumulada \Phi da normal padrão.

Passo 2

Queremos \mathbb{P}(X<1000). Padronizando:
Z = \frac{1000 - 850}{150} = \frac{150}{150} = 1.
Logo,
\mathbb{P}(X<1000) = \mathbb{P}\bigl(Z<1\bigr) = \Phi(1).
Consultando tabela de \Phi, temos \Phi(1)=0{,}8413.

Passo 3

Agora \mathbb{P}(700<X<900). Definimos
Z_1 = \frac{700-850}{150} = -1, \quad Z_2 = \frac{900-850}{150} = \frac{50}{150} \approx 0{,}3333.
Então
\mathbb{P}(700<X<900) = \mathbb{P}(-1<Z<0{,}3333) = \Phi(0{,}3333) - \Phi(-1).
Da tabela, \Phi(0{,}3333)\approx0{,}6293 e \Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413=0{,}1587.
Portanto,
\mathbb{P}(700<X<900)\approx 0{,}6293 - 0{,}1587 = 0{,}4706.

Passo 4

Para achar x_{0.95} tal que \mathbb{P}(X\le x_{0.95})=0{,}95, usamos o quantil da normal padrão:
z_{0.95} = \Phi^{-1}(0{,}95) \approx 1{,}645.
Despadronizando:
x_{0.95} = \mu + z_{0.95}\,\sigma = 850 + 1{,}645 \times 150 = 850 + 246{,}75 \approx 1096{,}75\text{ ms}.

Resposta

(a) 0{,}8413.
(b) 0{,}4706.
(c) Aproximadamente 1096{,}75 ms.

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