Suponha que o tempo de vida, em anos, de um material tem função densidade de probabilidade dada por
fX(x)=cc 0, & se x<1 2 / x^3, & se x >= 1
Suponha que um controle de qualidade analise uma amostra aleatória de 5 unidades do material.
Defina Y o número de unidades cujo tempo de vida ultrapasse seu valor médio.
Calcule a probabilidade de Y ser maior ou igual a 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos uma função densidade de probabilidade $ f_X(x) $ que descreve o tempo de vida de um material. Precisamos calcular a probabilidade de, em uma amostra de 5 unidades, pelo menos 4 delas terem um tempo de vida maior que a média desse tempo. Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade, como função densidade, valor esperado e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor médio (esperança matemática) do tempo de vida $ X $. A fórmula para o valor esperado $ E[X] $ é:
X
Como $ f_X(x) = 0 $ para $ x < 1 $, a integral simplifica para:
E[X]

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral:
integral1^infty 2x^2 , dx = 2 [ -1x ]1^infty = 2 ( 0 - (-1) ) = 2
Então, o valor esperado $ E[X] = 2 $ anos.

Passo 4

Em seguida, definimos $ Y $ como o número de unidades, numa amostra de 5, cujo tempo de vida ultrapassa a média $ E[X] = 2 $ anos. Primeiro, precisamos encontrar a probabilidade de uma única unidade ter $ X > 2 $.
Essa probabilidade $ p $ é:
Y

Passo 5

Agora, como estamos lidando com 5 unidades e cada uma tem uma probabilidade $ p = \frac{1}{4} $ de ter $ X > 2 $, $ Y $ segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 5 $ e $ p = \frac{1}{4} $.
Queremos calcular $ P(Y \geq 4) $, ou seja, a probabilidade de 4 ou 5 unidades terem $ X > 2 $.

Passo 6

Vamos calcular $ P(Y = 4) $ e $ P(Y = 5) $ usando a fórmula da binomial:
P(Y = 4)
Para $ k = 4 $:
P(Y = 5)
Para $ k = 5 $:
P(Y = k) = binom5k p^k (1-p)^5-k

Passo 7

Somando as duas probabilidades:
P(Y >= 4) = P(Y = 4) + P(Y = 5) = 151024 + 11024 = 161024 = 164 approx 0,015625

Resposta

A probabilidade de $ Y $ ser maior ou igual a 4 é aproximadamente $ 0,0156 $ ou $ \frac{1}{64} $.

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