Suponha que o tempo de vida, em anos, de um material tem função densidade de probabilidade dada por
Suponha que um controle de qualidade analise uma amostra aleatória de 5 unidades do material.
Defina
o número de unidades cujo tempo de vida ultrapasse seu valor médio.
Calcule a probabilidade de
ser maior ou igual a 4.
Defina
Calcule a probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos uma função densidade de probabilidade $ f_X(x) $ que descreve o tempo de vida de um material. Precisamos calcular a probabilidade de, em uma amostra de 5 unidades, pelo menos 4 delas terem um tempo de vida maior que a média desse tempo. Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade, como função densidade, valor esperado e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor médio (esperança matemática) do tempo de vida $ X $. A fórmula para o valor esperado $ E[X] $ é:
Como $ f_X(x) = 0 $ para $ x < 1 $, a integral simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral:
Então, o valor esperado $ E[X] = 2 $ anos.
Passo 4
Em seguida, definimos $ Y $ como o número de unidades, numa amostra de 5, cujo tempo de vida ultrapassa a média $ E[X] = 2 $ anos. Primeiro, precisamos encontrar a probabilidade de uma única unidade ter $ X > 2 $.
Essa probabilidade $ p $ é:
Passo 5
Agora, como estamos lidando com 5 unidades e cada uma tem uma probabilidade $ p = \frac{1}{4} $ de ter $ X > 2 $, $ Y $ segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 5 $ e $ p = \frac{1}{4} $.
Queremos calcular $ P(Y \geq 4) $, ou seja, a probabilidade de 4 ou 5 unidades terem $ X > 2 $.
Passo 6
Vamos calcular $ P(Y = 4) $ e $ P(Y = 5) $ usando a fórmula da binomial:
Para $ k = 4 $:
Para $ k = 5 $:
Passo 7
Somando as duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de $ Y $ ser maior ou igual a 4 é aproximadamente $ 0,0156 $ ou $ \frac{1}{64} $.