Um estudante de mestrado pediu a seu orientados uma carta de recomendação para concorrer a uma bolsa de doutorado. O estudante estima que as chances de obter a bolsa é 80 % se receber uma recomendação excelente(E), 50 % se a recomendação for moderada(M), e 10 % se a recomendação for fraca(F). Pelo que o mestrando conhece da avaliação do seu orientador, ele estima que as probabilidades da recomendação ser excelente(E), moderada(M) e fraca(F) são 65 %, 30 %, e 5 %, respectivamente.
Calcule a probabilidade condicional da recomendação ter sido Excelente, Moderada e Fraca dado que ele tenha recebido a bolsa de estudo ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um estudante de mestrado que pediu uma carta de recomendação para uma bolsa de doutorado. As chances de conseguir a bolsa dependem da qualidade da recomendação:
  • Excelente (E): 80% de chance de conseguir a bolsa
  • Moderada (M): 50% de chance
  • Fraca (F): 10% de chance
Além disso, as probabilidades de o orientador dar cada tipo de recomendação são:
  • Excelente (E): 65%
  • Moderada (M): 30%
  • Fraca (F): 5%
Vamos usar probabilidade condicional para descobrir qual é a chance da recomendação ter sido Excelente, Moderada ou Fraca, dado que o estudante conseguiu a bolsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é probabilidade condicional. Basicamente, queremos saber a probabilidade de um evento A acontecer, dado que outro evento B já aconteceu. A fórmula é:
P(A|B) = P(A cap B)P(B)
No nosso caso, queremos $ P(E|S) $, $ P(M|S) $ e $ P(F|S) $, onde S é o evento de conseguir a bolsa.

Passo 3

Vamos calcular $ P(S) $, ou seja, a probabilidade de conseguir a bolsa de estudo. Isso pode acontecer de três maneiras:
  1. A recomendação é Excelente e ele consegue a bolsa
  2. A recomendação é Moderada e ele consegue a bolsa
  3. A recomendação é Fraca e ele consegue a bolsa
Então:
P(S)
Substituindo os valores:
P(S) = P(E) times P(S|E) + P(M) times P(S|M) + P(F) times P(S|F)
P(S) = 0,65 times 0,80 + 0,30 times 0,50 + 0,05 times 0,10
Então, a probabilidade de conseguir a bolsa é 67,5%.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das probabilidades condicionais.
Para a recomendação Excelente:
P(E|S) = P(E) times P(S|E)P(S) = 0,65 times 0,800,675 = 0,520,675 approx 0,7704 ou 77,04%
Para a recomendação Moderada:
P(M|S) = P(M) times P(S|M)P(S) = 0,30 times 0,500,675 = 0,150,675 approx 0,2222 ou 22,22%
Para a recomendação Fraca:
P(F|S) = P(F) times P(S|F)P(S) = 0,05 times 0,100,675 = 0,0050,675 approx 0,0074 ou 0,74%

Resposta

A probabilidade condicional da recomendação ter sido:
  • Excelente (E): aproximadamente 77,04%
  • Moderada (M): aproximadamente 22,22%
  • Fraca (F): aproximadamente 0,74%

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