Suponha que a precipitação anual, em m m, na região de Porto Alegre no RS seja uma variável aleatória X que segue uma distribuição normal com média mu e desvio-padrão sigma. Para os últimos 10 anos, o registro fornece as seguintes chuvas:
Ano 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 sumi Xi sumi Xi^2
Precipitação 1787,4 1853,2 1561,4 1756,6 1446,6 1542,8 1425,2 1221,0 1317,0 1873,0 15784,2 25390300
Dados adaptados do INMET
Construa um intervalo de confiança de 95 % para a precipitação média anual.

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício sobre estatística, especificamente sobre como construir um intervalo de confiança para a média anual de precipitação na região de Porto Alegre. A gente tem dados de precipitação dos últimos 10 anos e sabe que a distribuição das chuvas segue uma normal com média desconhecida mu e desvio-padrão sigma. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média amostral, o desvio padrão amostral e usar a distribuição t de Student para montar nosso intervalo de confiança com 95%.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral ( barX). A média é simplesmente a soma de todas as precipitações dividida pelo número de anos.
barX = sumi=1^n Xin = 15784,210 = 1578,42 , mm

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão amostral ( s). Primeiro, encontramos a variância amostral usando a fórmula:
s^2 = sumi=1^n Xi^2 - (sumi=1^n Xi)^2nn - 1
Substituindo os valores:
s^2 = 25390300 - (15784,2)^21010 - 1 = 25390300 - 249,399 times 10^6109 = 25390300 - 249399009 = 4504009 approx 50044,44
Então, o desvio padrão amostral é:
s = raiz50044,44 approx 223,73 , mm

Passo 4

Como a amostra é pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população ( sigma), vamos usar a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico ( talpha/2) para um intervalo de confiança de 95% e 9 graus de liberdade (n-1).
Consultando a tabela t ou usando uma calculadora, encontramos:
t0,025,9 approx 2,262

Passo 5

Agora, calculamos o margem de erro (ME) usando a fórmula:
ME = talpha/2 times sraizn = 2,262 times 223,73raiz10 approx 2,262 times 70,72 approx 160,05 , mm

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a média anual de precipitação é:
barX pm ME = 1578,42 , mm pm 160,05 , mm
Ou seja:
[1418,37 , mm, 1738,47 , mm]

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