O tempo de vida útil de componentes de computador produzidos por certo fabricante de semicondutores é normalmente distribuído com parâmetros \mu=1,4 \times 10^{6} horas e \sigma=3 \times 10^{5} horas. Qual é a probabilidade aproximada de que um lote com 1000 componentes contenha pelo menos 200 componentes cujos tempos de vida útil sejam menores que 1,8 \times 10^{6} ?(Utilize correção de continuidade).

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida X de cada componente é N(\mu=1,4\times10^{6},\;\sigma=3\times10^{5}) e temos um lote de n=1000 componentes. Definimos a variável indicador
Y = \#\{\,\text{componentes com }X<1,8\times10^{6}\},
que segue \mathrm{Bin}(n=1000,p), onde
p = P\bigl(X<1,8\times10^{6}\bigr).
Queremos P(Y\ge200). Como n é grande, vamos aproximar Y por uma normal com correção de continuidade.

Passo 2

Calculamos
p = P\bigl(X<1,8\times10^{6}\bigr) = P\!\Bigl(Z<\frac{1,8\times10^{6}-1,4\times10^{6}}{3\times10^{5}}\Bigr) = P\Bigl(Z<\frac{0,4\times10^{6}}{3\times10^{5}}\Bigr) = P(Z<1,3333)\approx0,9082,
onde Z\sim N(0,1) e usamos tabela ou software para \Phi(1,3333).

Passo 3

Para Y\sim \mathrm{Bin}(1000,p) temos
\mu_Y = np = 1000\cdot0,9082 = 908,2,
\sigma_Y = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{1000\cdot0,9082\cdot0,0918}\approx9,13.

Passo 4

Usamos correção de continuidade para
P(Y\ge200)\approx P\bigl(Y>199{,}5\bigr) \approx P\!\Bigl(Z>\frac{199{,}5 - 908{,}2}{9{,}13}\Bigr) = P\Bigl(Z>-77{,}6\Bigr)\approx1,
pois \frac{199{,}5-908{,}2}{9{,}13}\approx -77{,}6 é um valor extremamente baixo.

Passo 5

Concluímos que a probabilidade de ter pelo menos 200 componentes com vida útil menor que 1,8\times10^{6} horas é praticamente 1.

Resposta

A probabilidade aproximada é \approx1 (praticamente certa).

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