Suponha que X tenha distribuição exponencial, com média igual a 10. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição exponencial com média igual a 10. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de $ X $ ser maior que 20, ou seja, $ \mathrm{P}(X > 20) $. Para resolver isso, vamos usar propriedades da distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que na distribuição exponencial, a média $ \mu $ está relacionada com o parâmetro $ \lambda $ pela fórmula:
Como a média $ \mu $ é 10, podemos encontrar $ \lambda $:
Passo 3
Agora, para encontrar a probabilidade de $ X $ ser maior que um certo valor $ x $ na distribuição exponencial, usamos a função de sobrevivência:
Isso significa que a probabilidade decresce exponencialmente conforme $ x $ aumenta.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para $ x = 20 $:
Calculando $ e^{-2} $, que é aproximadamente 0,1353.
Resposta
$ \mathrm{P}(X > 20) = 0,1353 $