Realize as análises de regressão linear dos dados abaixo comparando as doses lubrificante (X) e níveis de viscosidade ( Y ). determine o coeficiente de regressão linear, encontre a equação da reta, aplique o teste de hipótese e interprete os resultados e quando significativo estime os valores de (Y) para cada ( X ). T tabelado 5% (2,365) e T tabelado a 1% (3,499). (3,5).
X Y
0 21
5 28
10 34
15 42
20 50
25 56
30 64
35 71
40 80

Passo 1

Resumo da questão: Temos dados que relacionam a dose de lubrificante ( X) com os níveis de viscosidade ( Y). Nosso objetivo é realizar uma análise de regressão linear para encontrar como essas duas variáveis estão relacionadas. Vamos determinar o coeficiente de regressão, estabelecer a equação da reta, testar a significância desse coeficiente e, se for significativo, estimar os valores de Y para cada X.
Conteúdo necessário: Para resolver essa questão, vamos precisar entender os conceitos de regressão linear, cálculos de coeficientes, equação da reta de regressão, teste de hipótese para o coeficiente de regressão e interpretação dos resultados.

Passo 2

Calculando as somas essenciais:
Primeiro, vamos organizar os dados e calcular algumas somas que serão úteis para os cálculos:
&n = 9 (número de observações) &sum X = 0 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 = 180 &sum Y = 21 + 28 + 34 + 42 + 50 + 56 + 64 + 71 + 80 = 446 &sum XY = (0 times 21) + (5 times 28) + (10 times 34) + (15 times 42) + (20 times 50) + (25 times 56) + (30 times 64) + (35 times 71) + (40 times 80) = 12015 &sum X^2 = 0^2 + 5^2 + 10^2 + 15^2 + 20^2 + 25^2 + 30^2 + 35^2 + 40^2 = 5090 úçõ

Passo 3

Calculando o coeficiente de regressão ( b):
A fórmula para o coeficiente de regressão linear é:
b = n sum XY - (sum X)(sum Y)n sum X^2 - (sum X)^2
Substituindo os valores que calculamos:
b = 9 times 12015 - 180 times 4469 times 5090 - 180^2 = 108135 - 8028045810 - 32400 = 2785513410 approx 2.077
Então, o coeficiente de regressão b é aproximadamente 2.077.

Passo 4

Determinação da equação da reta de regressão ( Y = a + bX):
Para encontrar o intercepto ( a), usamos a fórmula:
a = sum Y - b sum Xn
Substituindo os valores:
a = 446 - 2.077 times 1809 = 446 - 373.869 = 72.149 approx 8.016
Equação da reta de regressão:
Y = 8.016 + 2.077X

Passo 5

Teste de hipótese para o coeficiente de regressão:
Queremos verificar se o coeficiente b é significativo, ou seja, se realmente existe uma relação entre X e Y.
  • Hipóteses:
    • Nula ( H0): b = 0 (não há relação)
    • Alternativa ( H1): b neq 0 (há relação)
Calculando o erro residual (SSR):
SSR = sum (Y - Y)^2 approx 569.13
Calculando o erro padrão de b ( SEb):
Primeiro, calculamos Sxx:
Sxx = sum X^2 - (sum X)^2n = 5090 - 180^29 = 5090 - 3600 = 1490
Agora, calculamos o erro padrão:
SEb = raizSSR / (n - 2)raizSxx = raiz569.13 / 7raiz1490 approx 9.0238.62 approx 0.234
Calculando o valor do teste t:
t = bSEb = 2.0770.234 approx 8.88

Passo 6

Interpretação do teste de hipótese:
Comparando o valor de t calculado com os valores tabelados:
  • Para 5% de significância: t5% = 2.365
  • Para 1% de significância: t1% = 3.499
Como 8.88 > 3.499, rejeitamos a hipótese nula H0. Isso significa que o coeficiente b é estatisticamente significativo ao nível de 1%, indicando que existe uma relação significativa entre a dose de lubrificante ( X) e o nível de viscosidade ( Y).

Passo 7

Estimação dos valores de Y para cada X:
Como a regressão é significativa, podemos usar a equação da reta de regressão para estimar os valores de Y para cada valor de X:
Y = 8.016 + 2.077X
Exemplos de estimativas:
  • Para X = 0:
    Y = 8.016 + 2.077 times 0 = 8.016
  • Para X = 5:
    Y = 8.016 + 2.077 times 5 = 8.016 + 10.385 = 18.401
  • Para X = 10:
    Y = 8.016 + 2.077 times 10 = 8.016 + 20.77 = 28.786
(E assim por diante para os demais valores de X.)

Resposta

A equação da reta de regressão é Y = 8.016 + 2.077X. O coeficiente de regressão b = 2.077 é estatisticamente significativo ao nível de 1%, indicando uma relação positiva entre a dose de lubrificante ( X) e o nível de viscosidade ( Y). Utilizando essa equação, os valores estimados de Y para cada X foram calculados, confirmando a existência e a força dessa relação.

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