Suponha que X tenha distribuição exponencial, com média igual a 10. Determine:
, tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de $ x $ tal que a probabilidade de $ X $ ser menor que $ x $ seja 0,95, ou seja, $ P(X < x) = 0,95 $. Sabemos que $ X $ segue uma distribuição exponencial com média igual a 10. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre a distribuição exponencial e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição exponencial é frequentemente usada para modelar o tempo entre eventos em processos de Poisson. A função de densidade de probabilidade (pdf) da distribuição exponencial é dada por:
Aqui, $ \lambda $ é a taxa da distribuição. Sabemos que a média ($ \mu $) da distribuição exponencial é o inverso de $ \lambda $:
Dado que a média é 10, temos:
Passo 3
Agora, queremos encontrar $ x $ tal que $ P(X < x) = 0,95 $. A função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial é:
Substituindo $ \lambda = 0,1 $ e igualando a 0,95:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para $ x $. Primeiro, isolamos o termo exponencial:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar a exponencial:
Passo 5
Finalmente, resolvemos para $ x $:
Calculando o valor numérico:
Resposta
$ x = 29,96 $