Suponha que X e Y tenham densidade conjunta dada por
f_{X, Y}(x, y)=\frac{\sqrt{3 \pi}}{12} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\mathrm{y}^{2}-\mathrm{xy}+2 \mathrm{x}^{2}\right)}
com -\infty<x<\infty e -\infty<y<\infty. Pede-se:
(a) Obtenha a esperança condicional de Y dado que X=x.
(b) Calcule P(2 Y \geq X \mid X=x).

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)=\frac{\sqrt{3\pi}}{12}\,\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\big(y^{2}-xy+2x^{2}\big)}
para -\infty<x<\infty e -\infty<y<\infty. Pede-se:
(a) a esperança condicional de Y dado X=x, isto é \mathbb{E}[Y\mid X=x];
(b) a probabilidade condicional P(2Y\ge X\mid X=x).
Informações importantes dadas:
\; - a densidade conjunta f_{X,Y}(x,y) como acima (constante multiplicativa \frac{\sqrt{3\pi}}{12} e expoente quadrático);
\; - as variáveis X e Y têm domínio toda a reta real para cada uma.
A partir daqui vamos obter a distribuição condicional f_{Y\mid X}(y\mid x), dela tirar a esperança condicional e calcular a probabilidade pedida.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar o expoente em termos de y completando o quadrado — isso deixa explícita a dependência de y como um núcleo gaussiano.
Começo com a expressão do expoente:
y^{2}-xy+2x^{2}.
Complete o quadrado em y:
y^{2}-xy = \big(y-\tfrac{x}{2}\big)^{2} - \frac{x^{2}}{4}.
Logo
y^{2}-xy+2x^{2} = \big(y-\tfrac{x}{2}\big)^{2} - \frac{x^{2}}{4} + 2x^{2} = \big(y-\tfrac{x}{2}\big)^{2} + \frac{7}{4}x^{2}.
Substituindo no expoente da densidade:
-\frac{1}{2}\big(y^{2}-xy+2x^{2}\big) = -\frac{1}{2}\big(y-\tfrac{x}{2}\big)^{2} - \frac{7}{8}x^{2}.
Portanto podemos reescrever a densidade conjunta como
f_{X,Y}(x,y)=\frac{\sqrt{3\pi}}{12}\,\mathrm{e}^{-\frac{7}{8}x^{2}}\;\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\big(y-\tfrac{x}{2}\big)^{2}}.

Passo 3

Agora vamos obter a densidade marginal de X integrando y:
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\,dy = \frac{\sqrt{3\pi}}{12}\,\mathrm{e}^{-\frac{7}{8}x^{2}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\big(y-\tfrac{x}{2}\big)^{2}}\,dy.
A integral em y é a integral de um núcleo gaussiano padrão deslocado; sabemos que
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\big(y-\tfrac{x}{2}\big)^{2}}\,dy=\sqrt{2\pi}.
Logo
f_X(x)=\frac{\sqrt{3\pi}}{12}\,\sqrt{2\pi}\;\mathrm{e}^{-\frac{7}{8}x^{2}}.
Não precisamos simplificar mais esse constante para obter a condicional, porque ela irá cancelar ao dividirmos pela marginal.

Passo 4

A densidade condicional de Y dado X=x é
f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}.
Usando as expressões obtidas nos passos anteriores:
f_{Y\mid X}(y\mid x) = \frac{\displaystyle\frac{\sqrt{3\pi}}{12}\,\mathrm{e}^{-\frac{7}{8}x^{2}}\;\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\big(y-\tfrac{x}{2}\big)^{2}}} {\displaystyle\frac{\sqrt{3\pi}}{12}\,\sqrt{2\pi}\;\mathrm{e}^{-\frac{7}{8}x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\;\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\big(y-\tfrac{x}{2}\big)^{2}}.
Observação importante: ao fazer a divisão, as constantes \frac{\sqrt{3\pi}}{12} e o fator \mathrm{e}^{-\frac{7}{8}x^{2}} cancelaram, sobrando exatamente a densidade gaussiana padrão deslocada.
Portanto, para cada x,
Y\mid X=x \sim \mathcal{N}\!\big(\tfrac{x}{2},\,1\big),
ou seja, a média condicional é \tfrac{x}{2} e a variância condicional é 1.

Passo 5

Com a conclusão do passo anterior já fica fácil responder (a). A esperança condicional é a média da normal condicional:
\mathbb{E}[Y\mid X=x]=\tfrac{x}{2}.
Agora (b): queremos
P(2Y\ge X\mid X=x)=P\big(Y\ge \tfrac{x}{2}\bigm|X=x\big).
Sob a lei condicional Y\mid X=x\sim\mathcal{N}(\tfrac{x}{2},1), padronizamos:
P\big(Y\ge \tfrac{x}{2}\bigm|X=x\big) = P\!\Big(\frac{Y-\tfrac{x}{2}}{1}\ge 0\Big).
Mas \frac{Y-\tfrac{x}{2}}{1} tem distribuição \mathcal{N}(0,1), logo
P\!\Big(\frac{Y-\tfrac{x}{2}}{1}\ge 0\Big)=\tfrac{1}{2}.
Intuição: estamos perguntando a probabilidade de que uma normal centrada em sua média seja maior que a própria média — isso vale sempre 1/2.

Resposta

(a) \mathbb{E}[Y\mid X=x]=\tfrac{x}{2}
(b) P(2Y\ge X\mid X=x)=\tfrac{1}{2}

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