para -\infty<x<\infty e -\infty<y<\infty. Pede-se:
(a) a esperança condicional de Y dado X=x, isto é \mathbb{E}[Y\mid X=x];
(b) a probabilidade condicional P(2Y\ge X\mid X=x).
Informações importantes dadas: \; - a densidade conjunta f_{X,Y}(x,y) como acima (constante multiplicativa \frac{\sqrt{3\pi}}{12} e expoente quadrático); \; - as variáveis X e Y têm domínio toda a reta real para cada uma.
A partir daqui vamos obter a distribuição condicional f_{Y\mid X}(y\mid x), dela tirar a esperança condicional e calcular a probabilidade pedida.
Passo 2
Primeiro vamos reorganizar o expoente em termos de y completando o quadrado — isso deixa explícita a dependência de y como um núcleo gaussiano.
Observação importante: ao fazer a divisão, as constantes \frac{\sqrt{3\pi}}{12} e o fator \mathrm{e}^{-\frac{7}{8}x^{2}} cancelaram, sobrando exatamente a densidade gaussiana padrão deslocada.