Sejam
e
variáveis aleatórias independentes com média zero e variância um. Encontre o valor de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. As informações dadas são:
-
são variáveis aleatórias independentes. - Cada uma tem média zero:
para . - Cada uma tem variância um:
para .
Isso é tudo que precisamos listar. A missão é encontrar o valor numérico de.
Passo 2
Primeiro passo técnico: expandir o quadrado
. Faço isso com a identidade
, onde
e
. Assim,
Simplificando os coeficientes,
Passo 3
Agora substituo essa expansão dentro da esperança e uso linearidade da esperança (ou seja,
e
para constante
). Obtém-se:
Passo 4
Agora avaliamos termo a termo usando independência e as informações de média/variância.
- Para
: como é independente de , o produto é independente de . Logo
Cada
é a segunda momento; relacionando com variância e média temos
. Portanto
- Para
: as três variáveis são independentes, então o produto se fatoriza:
Mas
e
, então esse termo é zero:
(Em geral: se alguma variável independente tem média zero, qualquer produto que envolva essa variável isolada terá esperança zero.)
- Para
: pelo mesmo raciocínio do primeiro termo, como e são independentes,
Passo 5
Agora volto à soma obtida no Passo 3 e substituo os valores calculados:
Então