Sejam X_{1}, X_{2} e X_{3} variáveis aleatórias independentes com média zero e variância um. Encontre o valor de E\left[X_{1}^{2}\left(X_{2}-4 X_{3}\right)^{2}\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular E\left[X_{1}^{2}\left(X_{2}-4 X_{3}\right)^{2}\right]. As informações dadas são:
  • X_{1}, X_{2}, X_{3} são variáveis aleatórias independentes.
  • Cada uma tem média zero: E[X_{i}]=0 para i=1,2,3.
  • Cada uma tem variância um: \operatorname{Var}(X_{i})=1 para i=1,2,3.
    Isso é tudo que precisamos listar. A missão é encontrar o valor numérico de E\left[X_{1}^{2}\left(X_{2}-4 X_{3}\right)^{2}\right].

Passo 2

Primeiro passo técnico: expandir o quadrado \left(X_{2}-4X_{3}\right)^{2}. Faço isso com a identidade (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, onde a=X_{2} e b=4X_{3}. Assim,
\left(X_{2}-4X_{3}\right)^{2}=X_{2}^{2}-2\cdot X_{2}\cdot(4X_{3})+(4X_{3})^{2}.
Simplificando os coeficientes,
\left(X_{2}-4X_{3}\right)^{2}=X_{2}^{2}-8X_{2}X_{3}+16X_{3}^{2}.

Passo 3

Agora substituo essa expansão dentro da esperança e uso linearidade da esperança (ou seja, E[A+B]=E[A]+E[B] e E[cA]=cE[A] para constante c). Obtém-se:
E\left[X_{1}^{2}\left(X_{2}-4X_{3}\right)^{2}\right]=E\left[X_{1}^{2}X_{2}^{2}\right]-8E\left[X_{1}^{2}X_{2}X_{3}\right]+16E\left[X_{1}^{2}X_{3}^{2}\right].

Passo 4

Agora avaliamos termo a termo usando independência e as informações de média/variância.
  • Para E\left[X_{1}^{2}X_{2}^{2}\right]: como X_{1} é independente de X_{2}, o produto X_{1}^{2} é independente de X_{2}^{2}. Logo
E\left[X_{1}^{2}X_{2}^{2}\right]=E\left[X_{1}^{2}\right]E\left[X_{2}^{2}\right].
Cada E\left[X_{i}^{2}\right] é a segunda momento; relacionando com variância e média temos E\left[X_{i}^{2}\right]=\operatorname{Var}(X_{i})+E[X_{i}]^{2}=1+0^{2}=1. Portanto
E\left[X_{1}^{2}X_{2}^{2}\right]=1\cdot 1=1.
  • Para E\left[X_{1}^{2}X_{2}X_{3}\right]: as três variáveis são independentes, então o produto se fatoriza:
E\left[X_{1}^{2}X_{2}X_{3}\right]=E\left[X_{1}^{2}\right]E\left[X_{2}\right]E\left[X_{3}\right].
Mas E[X_{2}]=0 e E[X_{3}]=0, então esse termo é zero:
E\left[X_{1}^{2}X_{2}X_{3}\right]=1\cdot 0\cdot 0=0.
(Em geral: se alguma variável independente tem média zero, qualquer produto que envolva essa variável isolada terá esperança zero.)
  • Para E\left[X_{1}^{2}X_{3}^{2}\right]: pelo mesmo raciocínio do primeiro termo, como X_{1} e X_{3} são independentes,
E\left[X_{1}^{2}X_{3}^{2}\right]=E\left[X_{1}^{2}\right]E\left[X_{3}^{2}\right]=1\cdot 1=1.

Passo 5

Agora volto à soma obtida no Passo 3 e substituo os valores calculados:
E\left[X_{1}^{2}\left(X_{2}-4X_{3}\right)^{2}\right]=1 - 8\cdot 0 + 16\cdot 1.
Então
E\left[X_{1}^{2}\left(X_{2}-4X_{3}\right)^{2}\right]=1+16=17.

Resposta

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