Suponha que X_{1} e X_{2} sejam variáveis aleatórias tais que E\left(X_{1} \mid X_{2}\right)=3,7-0,15 X_{2} e E\left(X_{2} \mid X_{1}\right)=0,4-0,6 X_{1}. Encontre a esperança de X_{1} e a esperança de X_{2}.

Passo 1

O enunciado fornece duas expectativas condicionais e pede as esperanças (valores médios) de X_{1} e X_{2}. Informações dadas:
E\bigl(X_{1}\mid X_{2}\bigr)=3,7-0,15\,X_{2}
E\bigl(X_{2}\mid X_{1}\bigr)=0,4-0,6\,X_{1}
O que nos pedem:
  • Calcular \mathbb{E}(X_{1}).
  • Calcular \mathbb{E}(X_{2}).

Passo 2

Vamos usar uma propriedade fundamental que liga esperança e esperança condicional: a esperança da esperança condicional é a esperança da variável. Em notação, se Y é qualquer variável,
\mathbb{E}\bigl(\mathbb{E}(X\mid Y)\bigr)=\mathbb{E}(X).
Intuição rápida: a expectativa condicional \mathbb{E}(X\mid Y) é um número (ou função de Y) que, ao tirar a média sobre Y, devolve a média total de X. Aqui isso nos permite transformar as expressões condicionais em equações envolvendo apenas as esperanças \mathbb{E}(X_{1}) e \mathbb{E}(X_{2}).

Passo 3

Defino
\mu_{1}=\mathbb{E}(X_{1}),\qquad \mu_{2}=\mathbb{E}(X_{2}).
Aplicando \mathbb{E}(\cdot) em ambos os lados de \mathbb{E}(X_{1}\mid X_{2})=3,7-0,15X_{2} e usando a propriedade do passo anterior, obtemos:
\mu_{1}=\mathbb{E}\bigl(3,7-0,15X_{2}\bigr).
Agora usamos linearidade da esperança (a esperança de soma é soma das esperanças, e constante sai da esperança):
\mu_{1}=3,7-0,15\,\mathbb{E}(X_{2}).
Ou seja,
\mu_{1}=3,7-0,15\,\mu_{2}.

Passo 4

Analogamente, aplicando \mathbb{E}(\cdot) em \mathbb{E}(X_{2}\mid X_{1})=0,4-0,6X_{1} obtemos:
\mu_{2}=\mathbb{E}\bigl(0,4-0,6X_{1}\bigr)=0,4-0,6\,\mathbb{E}(X_{1}),
ou seja
\mu_{2}=0,4-0,6\,\mu_{1}.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema linear em \mu_{1}\) e \(\mu_{2}\): \[\begin{cases} \mu_{1}=3,7-0,15\,\mu_{2},\\[4pt] \mu_{2}=0,4-0,6\,\mu_{1}. \end{cases}
Substituo a expressão de \mu_{2}\] (segunda equação) na primeira: \[\mu_{1}=3,7-0,15\bigl(0,4-0,6\,\mu_{1}\bigr).\] Faço as multiplicações internas passo a passo: \[0,15\cdot 0,4=0,06,\qquad 0,15\cdot 0,6=0,09.\] Portanto \[\mu_{1}=3,7-0,06+0,09\,\mu_{1}.\] Simplifico os termos constantes: \[3,7-0,06=3,64,\] então \[\mu_{1}=3,64+0,09\,\mu_{1}.\] Levo o termo em \(\mu_{1} do lado direito para o lado esquerdo:
\mu_{1}-0,09\,\mu_{1}=3,64.
Isso dá
0,91\,\mu_{1}=3,64.
Divido ambos os lados por 0,91:
\mu_{1}=\frac{3,64}{0,91}.
Calcule (ou verifique multiplicando): 0,91\cdot 4=3,64. Logo
\mu_{1}=4.]

Passo 6

Com \mu_{1}=4, uso a segunda equação para obter \mu_{2}:
\mu_{2}=0,4-0,6\,\mu_{1}=0,4-0,6\cdot 4.
Faço a multiplicação:
0,6\cdot 4=2,4.
Então
\mu_{2}=0,4-2,4=-2,0.
Posso checar na primeira equação: 3,7-0,15\cdot(-2)=3,7+0,3=4, consistente com \mu_{1}=4.

Resposta

\mathbb{E}(X_{1})=4
\mathbb{E}(X_{2})=-2

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