Suponha que
e
sejam variáveis aleatórias tais que
e
. Encontre a esperança de
e a esperança de
.
Passo 1
O enunciado fornece duas expectativas condicionais e pede as esperanças (valores médios) de
e
. Informações dadas:
O que nos pedem:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade fundamental que liga esperança e esperança condicional: a esperança da esperança condicional é a esperança da variável. Em notação, se
é qualquer variável,
Intuição rápida: a expectativa condicional
é um número (ou função de
) que, ao tirar a média sobre
, devolve a média total de
. Aqui isso nos permite transformar as expressões condicionais em equações envolvendo apenas as esperanças
e
.
Passo 3
Defino
Aplicando
em ambos os lados de
e usando a propriedade do passo anterior, obtemos:
Agora usamos linearidade da esperança (a esperança de soma é soma das esperanças, e constante sai da esperança):
Ou seja,
Passo 4
Analogamente, aplicando
em
obtemos:
ou seja
Passo 5
Agora resolvemos o sistema linear em
Substituo a expressão de
do lado direito para o lado esquerdo:
Isso dá
Divido ambos os lados por
:
Calcule (ou verifique multiplicando):
. Logo
Passo 6
Com
, uso a segunda equação para obter
:
Faço a multiplicação:
Então
Posso checar na primeira equação:
, consistente com
.