Suponha que tenhamos um espaço amostral com cinco resultados experimentais igualmente prováveis: E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}, E_{5}. Sejam
A=\left\{E_{1}, E_{2}\right\}
B=\left\{E_{3}, E_{4}\right\}
C=\left\{E_{2}, E_{3}, E_{5}\right\}
Encontre P(A \cup B). A e B são mutuamente exclusivos?
Encontre A^{c}, C^{c}, P\left(A^{c}\right) e P\left(C^{c}\right).
Encontre A \cup B^{c} e P\left(A \cup B^{c}\right).
Encontre P(B \cup C).

Passo 1

O enunciado descreve um espaço amostral
\Omega=\{E_1,E_2,E_3,E_4,E_5\}
com todos os resultados equiprováveis, isto é,
P(E_i)=\tfrac{1}{5}\quad\text{para }i=1,\dots,5.
São dados os eventos
A=\{E_1,E_2\},\quad B=\{E_3,E_4\},\quad C=\{E_2,E_3,E_5\}.
Vamos usar que, em espaços equiprováveis, a probabilidade de um evento é o número de resultados favoráveis dividido por 5, e aplicar definições de união, interseção, complemento e exclusão mútua.

Passo 2

Calculamos P(A\cup B). Como
A\cup B=\{E_1,E_2,E_3,E_4\},
temos 4 resultados favoráveis, logo
P(A\cup B)=\frac{4}{5}.
Além disso
A\cap B=\emptyset,
portanto A e B são mutuamente exclusivos.

Passo 3

Encontramos os complementos e suas probabilidades:
O complemento de A é
A^c=\Omega\setminus A=\{E_3,E_4,E_5\},
com 3 resultados, logo
P(A^c)=\frac{3}{5}.
O complemento de C é
C^c=\Omega\setminus C=\{E_1,E_4\},
com 2 resultados, logo
P(C^c)=\frac{2}{5}.

Passo 4

Primeiro,
B^c=\Omega\setminus B=\{E_1,E_2,E_5\}.
Então
A\cup B^c=\{E_1,E_2\}\cup\{E_1,E_2,E_5\}=\{E_1,E_2,E_5\},
com 3 resultados, dando
P(A\cup B^c)=\frac{3}{5}.

Passo 5

Para B\cup C temos
B\cup C=\{E_3,E_4\}\cup\{E_2,E_3,E_5\}=\{E_2,E_3,E_4,E_5\},
com 4 resultados, portanto
P(B\cup C)=\frac{4}{5}.

Resposta

P(A\cup B)=\frac{4}{5}.
Sim, A e B são mutuamente exclusivos.
A^c=\{E_3,E_4,E_5\},\;C^c=\{E_1,E_4\}.
P(A^c)=\frac{3}{5},\;P(C^c)=\frac{2}{5}.
A\cup B^c=\{E_1,E_2,E_5\},\;P(A\cup B^c)=\frac{3}{5}.
P(B\cup C)=\frac{4}{5}.

Exercícios relacionados