P 12.6-2 Uma fonte trifásica com uma tensão de linha de 45 kV rms é ligada a duas cargas equilibradas. A carga ligada em Y tem três impedâncias
e a carga ligada em
tem três impedâncias de
. As linhas de transmissão têm uma impedância de
. Determine a potência fornecida às cargas e a potência perdida nos fios. Que porcentagem da potência é perdida nos fios?
Passo 1
O enunciado dá uma fonte trifásica com tensão de linha
que alimenta duas cargas equilibradas e linhas com impedância por fase
(assumimos puramente resistiva,
). As duas cargas são:
- carga em estrela (Y) com cada impedância por fase
; - carga em delta (
) com cada impedância de ramo .
O que nos pediram:
- Determinar a potência fornecida às cargas (potência ativa total entregue às duas cargas).
- Determinar a potência perdida nos fios (perda ôhmica nas três fases).
- Calcular a porcentagem da potência que é perdida nos fios.
Listei todas as informações relevantes acima; agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular a tensão de fase do gerador (tensão fase-neutro na barra do gerador), porque trabalharemos com impedâncias por fase. A relação entre tensão de linha e tensão de fase em sistema trifásico equilibrado é
Substituindo,
Aqui
é a magnitude da tensão fase-neutro fornecida pelo gerador.
Passo 3
A carga em
é dada por ramos de
. Para trabalhar com circuitos por fase (e poder somar/parallelizar com a carga em Y), convertemos a delta para uma estrela equivalente. A fórmula de conversão
para impedâncias idênticas é
Logo
Explicação didática: a conversão garante que, para as mesmas tensões de linha/fase, as correntes e potências vistas externamente sejam iguais. Assim conseguimos representar a carga
como um impedância por fase ligada ao neutro.
Passo 4
Agora calculamos a impedância equivalente por fase da combinação paralela entre
e
:
A impedância equivalente em paralelo é
Vamos calcular isto de forma exata (usar frações facilita a conta): escrevendo
e fazendo a divisão complexa, obtemos (passos algébricos resumidos)
Comentário sobre o cálculo: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador; com os números dados a conta simplifica exatamente para
. Isso significa que, por fase, a combinação das duas cargas vista do ponto de alimentação tem impedância
.
Passo 5
Somamos agora a impedância da linha (em série por fase) com
:
Calculemos a magnitude e o ângulo de
. A magnitude é
O ângulo de
é
.
Passo 6
Agora a corrente de fase fornecida pelo gerador (corrente da linha por fase) é
Como
,
E o ângulo da corrente é
(corrente defasada atrás da tensão de fase), ou seja cerca de
. Assim
Interpretação prática: essa é a corrente por fase que circula pela linha (e que se dividirá nas duas cargas no ponto de carga, já que as cargas estão em paralelo).
Passo 7
A tensão nos terminais das cargas (tensão de fase no barramento da carga, mesma para ambas porque estão em paralelo) é a queda em
:
Em magnitude podemos usar
Com
, e
calculado,
Também é possível relacionar diretamente com
:
Passo 8
Calculemos a potência ativa absorvida pela carga em Y. Para uma impedância por fase
e tensão de fase
, a potência ativa total (trifásica) da carga Y é
Calculamos
. A parte real é
. Então
Calculando numericamente,
Passo 9
Calculemos a potência ativa absorvida pela carga em
. Como já convertemos a delta para estrela com
, usamos a mesma fórmula (a tensão de fase é a mesma
):
Aqui
é real, então
. Logo
Numericamente,
Passo 10
A potência total fornecida às cargas é a soma das potências ativas de Y e
:
Passo 11
Agora calculamos as perdas nos fios (perdas ôhmicas nas três fases). Como cada fase tem resistência
e a corrente por fase é
, a perda total trifásica é
Substituindo
,
Numericamente,
Passo 12
Por fim, a porcentagem da potência que é perdida nos fios relativa à potência total fornecida pela fonte (que é
) é
Substituindo os valores numéricos,
Observação (motivadora): deu uma fração bem “bonita”
≈
, resultado decorrente dos números escolhidos no problema.