Suponha que todas as tangentes de uma curva diferenciável passem por um único ponto fixo.
(a) Mostre que o traço dessa curva é um (segmento) de reta
(b) A conclusão ainda será válida se a curva é regular?
(a) Mostre que o traço dessa curva é um (segmento) de reta
(b) A conclusão ainda será válida se a curva é regular?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
-
Foi dada uma curva diferenciável
(onde é um intervalo) e existe um ponto fixo tal que, para todo , a reta tangente à curva em passa por . -
Perguntas:
(a) Mostrar que o traço (a imagem) da curva é um segmento de reta.
(b) Verificar se a mesma conclusão vale quando a curva é regular (isto é, quandopara todo ).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva é diferenciável, portanto
existe para todo . - A reta tangente em
passa por para todo . - O traço da curva é
.
Passo 2
Interpretação geométrica e notação conveniente:
-
Defino o vetor posição relativo ao ponto fixo
: Esse vetor vai do ponto fixoaté o ponto da curva. -
A afirmação "a reta tangente em
passa por " significa geometricamente que o vetor é paralelo ao vetor tangente . Em termos algébricos, para cada existe um número (escalar) tal que (Se, isto é , essa igualdade é trivialmente compatível com a condição geométrica; trataremos esse caso abaixo.) -
Observação rápida sobre “paralelismo” em
: dois vetores e são paralelos se e somente se . A condição dada implica para todo .
Passo 3
Transformar a relação de paralelismo em uma equação diferencial simples e entender suas consequências:
-
A igualdade
pode ser reescrita usando (pois é constante), assim obtemos a equação vetorial -
Vamos explicar como resolver/entender essa equação de modo elementar (sem usar teoria avançada de EDO): escreva
. A equação vetorial é equivalente ao sistema escalar Se em algum instantee então (caso ), que é um caso degenerado. Fora desse caso, suponha por exemplo em uma vizinhança; então Subtraindo, obtemoslogoé constante em qualquer intervalo onde e não se anulam simultaneamente; isto implica que a razão é constante nesse intervalo. Em palavras: os componentes de mantêm a mesma razão, isto é, todos os vetores são colineares entre si. -
Resultado prático: existe um vetor fixo
e uma função escalar tal que Portanto todos os vetoresestão na mesma direção , isto é, todos os pontos pertencem à reta que passa por e tem direção .
Passo 4
Conclusão geométrica imediata (provar que é um segmento de reta):
-
Já mostramos que para todo
o ponto pertence a uma mesma reta que passa por . Assim -
Agora explico por que isso implica que o traço é um segmento (ou, com precisão topológica, um subconjunto intervalar da reta): a imagem
é a imagem contínua de um intervalo , logo é um conjunto conectado em . A interseção de uma reta com um conjunto conectado do plano é um conjunto conectado na reta; identificando a reta com por uma coordenada ao longo dela, conjuntos conectados em são exatamente intervalos. Geometricamente, um intervalo numa reta é um segmento, ou um raio, ou a reta inteira. Assim é um intervalo da reta , o que, no vocabulário usual, é um segmento (talvez aberto, fechado ou semiaberto, possivelmente degenerado a um ponto; também pode ser um raio ou toda a reta se o domínio for não-limitado). -
Em linguagem direta: a curva inteira está contida numa mesma reta, logo seu traço é um subconjunto dessa reta que, por conectividade, é um segmento (ou intervalo) dessa reta.
Passo 5
Tratamento dos casos degenerados e justificativas técnicas (para ficar à prova de pegadinhas):
-
Caso
para algum : nesse ponto . A hipótese "a reta tangente em passa por " é trivially satisfeita (a reta tangente em passa por ). A dedução anterior vale em qualquer intervalo onde ; pela continuidade da imagem e pelo argumento de conectividade, o ponto (se presente na imagem) apenas corresponde a uma extremidade (ou ponto interior) do intervalo da reta, não quebra a conclusão de que toda a imagem está em uma só reta. -
Se em algum
tivermos (não-regularidade): a hipótese do enunciado mencionou “todas as tangentes …”, o que sugere que a reta tangente está bem definida; normalmente isso exige . Se houver pontos com então a definição de “reta tangente” fica ambígua, mas o argumento pode ser adaptado considerando pontos onde a tangente está bem definida e usando continuidade. Para evitar ambiguidades, assumir diferenciabilidade em todo e que a afirmação das tangentes vale onde a tangente existe é suficiente; porém a prova feita no Passo 3 funcionará com mais clareza quando .
Passo 6
Resposta para (b): o que muda se a curva é regular?
- “Regular” significa
para todo . Isso torna a demonstração mais direta porque a existência da função escalar tal que é imediata para todo . A partir daí segue-se exatamente o passo dos sistemas escalares e a razão é constante, concluindo que todos os são colineares e o traço está contido numa reta. Portanto a conclusão continua válida — na verdade o caso regular é tecnicamente mais simples.
Resposta
(a) O traço da curva está contido numa reta que passa pelo ponto fixo
; por conectividade da imagem, essa interseção com a reta é um intervalo da reta (isto é, um segmento, possivelmente degenerado, fechado/aberto/semifechado ou um raio/retăo dependendo do domínio), logo o traço é um segmento de reta.
(b) Sim. Se a curva é regular ( para todo
) a prova fica mais direta e a conclusão continua válida: a imagem fica contida numa única reta passando por
.
(b) Sim. Se a curva é regular (