Suponha que todas as tangentes de uma curva diferenciável passem por um único ponto fixo.
(a) Mostre que o traço dessa curva é um (segmento) de reta
(b) A conclusão ainda será válida se a curva é regular?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada uma curva diferenciável r:I\to\mathbb{R}^2 (onde I\subset\mathbb{R} é um intervalo) e existe um ponto fixo P\in\mathbb{R}^2 tal que, para todo t\in I, a reta tangente à curva em r(t) passa por P.
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que o traço (a imagem) da curva é um segmento de reta.
    (b) Verificar se a mesma conclusão vale quando a curva é regular (isto é, quando r'(t)\neq 0 para todo t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é diferenciável, portanto r'(t) existe para todo t\in I.
  • A reta tangente em r(t) passa por P para todo t.
  • O traço da curva é \mathrm{Im}(r)=\{r(t)\colon t\in I\}.

Passo 2

Interpretação geométrica e notação conveniente:
  • Defino o vetor posição relativo ao ponto fixo P:
    v(t)=r(t)-P.
    Esse vetor vai do ponto fixo P até o ponto r(t) da curva.
  • A afirmação "a reta tangente em r(t) passa por P" significa geometricamente que o vetor v(t) é paralelo ao vetor tangente r'(t). Em termos algébricos, para cada t existe um número (escalar) \mu(t) tal que
    r'(t)=\mu(t)\,v(t).
    (Se v(t)=0, isto é r(t)=P, essa igualdade é trivialmente compatível com a condição geométrica; trataremos esse caso abaixo.)
  • Observação rápida sobre “paralelismo” em \mathbb{R}^2: dois vetores a e b são paralelos se e somente se \det(a,b)=0. A condição dada implica \det(v(t),r'(t))=0 para todo t.

Passo 3

Transformar a relação de paralelismo em uma equação diferencial simples e entender suas consequências:
  • A igualdade r'(t)=\mu(t)\,v(t) pode ser reescrita usando v'(t)=r'(t) (pois P é constante), assim obtemos a equação vetorial
    v'(t)=\mu(t)\,v(t).
  • Vamos explicar como resolver/entender essa equação de modo elementar (sem usar teoria avançada de EDO): escreva v(t)=(x(t),y(t)). A equação vetorial é equivalente ao sistema escalar
    x'(t)=\mu(t)\,x(t),\qquad y'(t)=\mu(t)\,y(t).
    Se em algum instante x(t)=0 e y(t)=0 então v(t)=0 (caso r(t)=P), que é um caso degenerado. Fora desse caso, suponha por exemplo x(t)\neq 0 em uma vizinhança; então
    \frac{x'(t)}{x(t)}=\mu(t)=\frac{y'(t)}{y(t)}.
    Subtraindo, obtemos
    \frac{d}{dt}\big(\ln|x(t)|-\ln|y(t)|\big)=0,
    logo \ln|x(t)|-\ln|y(t)| é constante em qualquer intervalo onde x e y não se anulam simultaneamente; isto implica que a razão \dfrac{y(t)}{x(t)} é constante nesse intervalo. Em palavras: os componentes de v(t) mantêm a mesma razão, isto é, todos os vetores v(t) são colineares entre si.
  • Resultado prático: existe um vetor fixo u\neq 0 e uma função escalar c(t) tal que
    v(t)=c(t)\,u\quad\text{para todo }t\in I.
    Portanto todos os vetores v(t) estão na mesma direção u, isto é, todos os pontos r(t)=P+v(t) pertencem à reta que passa por P e tem direção u.

Passo 4

Conclusão geométrica imediata (provar que é um segmento de reta):
  • Já mostramos que para todo t o ponto r(t) pertence a uma mesma reta L que passa por P. Assim
    \mathrm{Im}(r)\subset L.
  • Agora explico por que isso implica que o traço é um segmento (ou, com precisão topológica, um subconjunto intervalar da reta): a imagem \mathrm{Im}(r) é a imagem contínua de um intervalo I, logo é um conjunto conectado em \mathbb{R}^2. A interseção de uma reta com um conjunto conectado do plano é um conjunto conectado na reta; identificando a reta com \mathbb{R} por uma coordenada ao longo dela, conjuntos conectados em \mathbb{R} são exatamente intervalos. Geometricamente, um intervalo numa reta é um segmento, ou um raio, ou a reta inteira. Assim \mathrm{Im}(r) é um intervalo da reta L, o que, no vocabulário usual, é um segmento (talvez aberto, fechado ou semiaberto, possivelmente degenerado a um ponto; também pode ser um raio ou toda a reta se o domínio for não-limitado).
  • Em linguagem direta: a curva inteira está contida numa mesma reta, logo seu traço é um subconjunto dessa reta que, por conectividade, é um segmento (ou intervalo) dessa reta.

Passo 5

Tratamento dos casos degenerados e justificativas técnicas (para ficar à prova de pegadinhas):
  • Caso r(t_0)=P para algum t_0: nesse ponto v(t_0)=0. A hipótese "a reta tangente em r(t_0) passa por P" é trivially satisfeita (a reta tangente em P passa por P). A dedução anterior vale em qualquer intervalo onde v(t)\neq 0; pela continuidade da imagem e pelo argumento de conectividade, o ponto P (se presente na imagem) apenas corresponde a uma extremidade (ou ponto interior) do intervalo da reta, não quebra a conclusão de que toda a imagem está em uma só reta.
  • Se em algum t tivermos r'(t)=0 (não-regularidade): a hipótese do enunciado mencionou “todas as tangentes …”, o que sugere que a reta tangente está bem definida; normalmente isso exige r'(t)\neq 0. Se houver pontos com r'(t)=0 então a definição de “reta tangente” fica ambígua, mas o argumento pode ser adaptado considerando pontos onde a tangente está bem definida e usando continuidade. Para evitar ambiguidades, assumir diferenciabilidade em todo I e que a afirmação das tangentes vale onde a tangente existe é suficiente; porém a prova feita no Passo 3 funcionará com mais clareza quando r'(t)\neq 0.

Passo 6

Resposta para (b): o que muda se a curva é regular?
  • “Regular” significa r'(t)\neq 0 para todo t\in I. Isso torna a demonstração mais direta porque a existência da função escalar \mu(t) tal que r'(t)=\mu(t)\,v(t) é imediata para todo t. A partir daí segue-se exatamente o passo dos sistemas escalares x'=\mu x,\;y'=\mu y e a razão y/x é constante, concluindo que todos os v(t) são colineares e o traço está contido numa reta. Portanto a conclusão continua válida — na verdade o caso regular é tecnicamente mais simples.

Resposta

(a) O traço da curva está contido numa reta que passa pelo ponto fixo P; por conectividade da imagem, essa interseção com a reta é um intervalo da reta (isto é, um segmento, possivelmente degenerado, fechado/aberto/semifechado ou um raio/retăo dependendo do domínio), logo o traço é um segmento de reta.
(b) Sim. Se a curva é regular ( r'(t)\neq 0 para todo t) a prova fica mais direta e a conclusão continua válida: a imagem fica contida numa única reta passando por P.

Exercícios relacionados