Seja \alpha(t) curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. A evoluta de \alpha é a curva determinada por
\beta(t)=\alpha(t)+\frac{1}{k(t)} n(t)
onde k é a curvatura de \alpha e n é vetor normal à \alpha. Prove que:
(a) \beta é curva diferenciável se k(t) \neq 0 para todo t
(b) Suponha que k(t) \neq 0 para todo t, então \beta é curva regular.
(c) Mostre que a tangente em t na evoluta de \alpha é normal a \alpha em t

Passo 1

O enunciado dá:
  • \alpha(t) é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco (ou seja, \lVert \alpha'(t)\rVert=1 para todo t).
  • A evoluta de \alpha é a curva
\beta(t)=\alpha(t)+\frac{1}{k(t)}\,n(t),
onde k(t) é a curvatura de \alpha e n(t) é o vetor normal unitário de \alpha em t.
O que nos pedem:
(a) Mostrar que \beta é diferenciável se k(t)\neq 0 para todo t.
(b) Supondo k(t)\neq 0 para todo t, mostrar que \beta é curva regular (i.e. \beta'(t)\neq 0 para todo t).
(c) Mostrar que a tangente em t na evoluta de \alpha é normal a \alpha em t.

Passo 2

Vamos lembrar e fixar notações e fórmulas que usaremos (aqui explico passo a passo, devagarzinho).
  • Como \alpha está parametrizada pelo comprimento de arco, definimos o vetor tangente unitário
T(t)=\alpha'(t),\qquad \lVert T(t)\rVert=1.
  • A curvatura k(t) mede a taxa de variação do tangente. Em param. por comprimento de arco vale a relação padrão (Frenet):
T'(t)=k(t)\,n(t),
onde n(t) é o vetor normal unitário (perpendicular a T e com \lVert n(t)\rVert=1). Assim k(t)=\lVert T'(t)\rVert.
  • Ainda nas fórmulas de Frenet para curvas planas parametrizadas por arc-length, o derivado do normal é
n'(t)=-k(t)\,T(t).
Vou justificar essa última: como \{T,n\} é uma base ortonormal do plano em cada t, escrevemos n'(t)=a(t)T(t)+b(t)n(t). Tomando produto interno com n obtemos \langle n',n\rangle=0 (pois \lVert n\rVert=1), então b(t)=0. Tomando produto interno com T e usando \langle n,T\rangle=0 e \langle T',n\rangle=k obtemos a(t)=-k(t). Portanto n'=-kT.
Essas fórmulas exigem hipóteses de regularidade (por exemplo \alpha suficientemente suave, tipicamente C^3 garante tudo que precisamos: T,n,k diferenciáveis). Vou usar essas hipóteses implícitas para as manipulações seguintes.

Passo 3

Agora derivamos \beta(t). Usamos a regra do produto (ou soma) para derivadas:
\beta'(t)=\alpha'(t)+\left(\frac{1}{k(t)}\right)'\,n(t)+\frac{1}{k(t)}\,n'(t).
Substituindo \alpha'(t)=T(t) e n'(t)=-k(t)T(t) (Frenet), obtemos
\beta'(t)=T(t)+\left(\frac{1}{k(t)}\right)'\,n(t)+\frac{1}{k(t)}\bigl(-k(t)T(t)\bigr).
Os termos com T(t) se cancelam:
\beta'(t)=\left(\frac{1}{k(t)}\right)'\,n(t).
Podemos escrever explicitamente a derivada de 1/k:
\left(\frac{1}{k(t)}\right)'=-\frac{k'(t)}{k(t)^2},
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\beta'(t)=-\frac{k'(t)}{k(t)^2}\,n(t).

Passo 4

Da expressão acima vemos o seguinte: \beta'(t) é dada em termos de k'(t), k(t) e n(t). Se assumirmos que \alpha é suficientemente suave (como normalmente se supõe ao definir curvatura e vetor normal), então k(t) e n(t) são diferenciáveis; quando k(t)\neq 0 temos 1/k(t) bem definida e diferenciável. Assim a expressão acima existe e é contínua: \beta é diferenciável (isto é, \beta'(t) existe) sempre que k(t)\neq 0 e as funções envolvidas sejam diferenciáveis (hipótese de regularidade suave da curva). Portanto (a) está demonstrado via a computação explícita de \beta'(t).

Passo 5

A expressão
\beta'(t)=-\frac{k'(t)}{k(t)^2}\,n(t)
diz exatamente quando \beta'(t) é zero: \beta'(t)=0 se e somente se k'(t)=0 (assumindo k(t)\neq 0). Isso mostra que a afirmação “se k(t)\neq 0 para todo t então \beta é curva regular” é falsa em geral: basta um exemplo clássico — uma circunferência — para ver o contraexemplo. Para uma circunferência de raio R temos k(t)=1/R constante, não-nula, logo k'(t)=0 e então \beta'(t)=0 para todo t; a evoluta é um ponto (o centro) e não é curva regular. Portanto a afirmação tal como escrita falha.
A afirmação correta é: \beta é regular em t se e somente se k'(t)\neq 0. Ou seja, nos pontos onde k'(t)\neq 0 temos \beta'(t)\neq 0 e a evoluta é regular; nos pontos onde k'(t)=0 a derivada \beta'(t) anula-se e a evoluta não é regular ali.

Passo 6

Da expressão
\beta'(t)=-\frac{k'(t)}{k(t)^2}\,n(t)
vemos que \beta'(t) é um múltiplo escalar de n(t). Isso significa que a direção tangente de \beta em t é a direção de n(t). Mas n(t) é exatamente o vetor normal a \alpha em t. Logo a tangente à evoluta \beta em t é normal a \alpha em t. Isso prova (c).

Resposta

(a) Sob hipóteses usuais de suavidade de \alpha (para que k e n sejam diferenciáveis) e se k(t)\neq 0, \beta é diferenciável e
\beta'(t)=-\frac{k'(t)}{k(t)^2}\,n(t).
(b) A afirmação tal como dada é falsa: existe curva com k(t)\neq0 (ex.: circunferência) cuja evoluta não é regular. A condição correta é: \beta é regular em t se, e somente se, k'(t)\neq 0.
(c) A tangente em t na evoluta \beta é normal a \alpha em t, pois \beta'(t) é paralelo a n(t).

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