Seja
curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. A evoluta de
é a curva determinada por
onde
é a curvatura de
e
é vetor normal à
. Prove que:
(a)
é curva diferenciável se
para todo
(b) Suponha que
para todo
, então
é curva regular.
(c) Mostre que a tangente em
na evoluta de
é normal a
em
(a)
(b) Suponha que
(c) Mostre que a tangente em
Passo 1
O enunciado dá:
-
é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco (ou seja, para todo ). - A evoluta de
é a curva
onde
é a curvatura de
e
é o vetor normal unitário de
em
.
O que nos pedem:
(a) Mostrar que é diferenciável se
para todo
.
(b) Supondo para todo
, mostrar que
é curva regular (i.e.
para todo
).
(c) Mostrar que a tangente em na evoluta de
é normal a
em
.
(a) Mostrar que
(b) Supondo
(c) Mostrar que a tangente em
Passo 2
Vamos lembrar e fixar notações e fórmulas que usaremos (aqui explico passo a passo, devagarzinho).
- Como
está parametrizada pelo comprimento de arco, definimos o vetor tangente unitário
- A curvatura
mede a taxa de variação do tangente. Em param. por comprimento de arco vale a relação padrão (Frenet):
onde
é o vetor normal unitário (perpendicular a
e com
). Assim
.
- Ainda nas fórmulas de Frenet para curvas planas parametrizadas por arc-length, o derivado do normal é
Vou justificar essa última: como
é uma base ortonormal do plano em cada
, escrevemos
. Tomando produto interno com
obtemos
(pois
), então
. Tomando produto interno com
e usando
e
obtemos
. Portanto
.
Essas fórmulas exigem hipóteses de regularidade (por exemplo
suficientemente suave, tipicamente
garante tudo que precisamos:
diferenciáveis). Vou usar essas hipóteses implícitas para as manipulações seguintes.
Passo 3
Agora derivamos
. Usamos a regra do produto (ou soma) para derivadas:
Substituindo
e
(Frenet), obtemos
Os termos com
se cancelam:
Podemos escrever explicitamente a derivada de
:
logo
Passo 4
Da expressão acima vemos o seguinte:
é dada em termos de
,
e
. Se assumirmos que
é suficientemente suave (como normalmente se supõe ao definir curvatura e vetor normal), então
e
são diferenciáveis; quando
temos
bem definida e diferenciável. Assim a expressão acima existe e é contínua:
é diferenciável (isto é,
existe) sempre que
e as funções envolvidas sejam diferenciáveis (hipótese de regularidade suave da curva). Portanto (a) está demonstrado via a computação explícita de
.
Passo 5
A expressão
diz exatamente quando
é zero:
se e somente se
(assumindo
). Isso mostra que a afirmação “se
para todo
então
é curva regular” é falsa em geral: basta um exemplo clássico — uma circunferência — para ver o contraexemplo. Para uma circunferência de raio
temos
constante, não-nula, logo
e então
para todo
; a evoluta é um ponto (o centro) e não é curva regular. Portanto a afirmação tal como escrita falha.
A afirmação correta é:
é regular em
se e somente se
. Ou seja, nos pontos onde
temos
e a evoluta é regular; nos pontos onde
a derivada
anula-se e a evoluta não é regular ali.
Passo 6
Da expressão
vemos que
é um múltiplo escalar de
. Isso significa que a direção tangente de
em
é a direção de
. Mas
é exatamente o vetor normal a
em
. Logo a tangente à evoluta
em
é normal a
em
. Isso prova (c).
Resposta
(a) Sob hipóteses usuais de suavidade de
(para que
e
sejam diferenciáveis) e se
,
é diferenciável e
(b) A afirmação tal como dada é falsa: existe curva com
(ex.: circunferência) cuja evoluta não é regular. A condição correta é:
é regular em
se, e somente se,
.
(c) A tangente em
na evoluta
é normal a
em
, pois
é paralelo a
.