Seja r=r(\theta) uma curva regular dada por em coordenadas polares. Verifique que o comprimento de arco da curva de \theta_{0} a \theta_{1} é obtido por
l=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{r^{2}+\left(r^{\prime}\right)^{2}} d \theta
e a curvatura
k(\theta)=\frac{2\left(r^{\prime}\right)^{2}-r r^{\prime \prime}+r^{2}}{\left(r^{2}+\left(r^{\prime}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva em coordenadas polares r=r(\theta), regular, e pede para verificar duas fórmulas:
  • O comprimento de arco entre \theta_{0} e \theta_{1}:
l=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{r^{2}+\left(r^{\prime}\right)^{2}}\, d\theta.
  • A curvatura (magnitude) em função de \theta:
k(\theta)=\frac{2\left(r^{\prime}\right)^{2}-r r^{\prime\prime}+r^{2}}{\left(r^{2}+\left(r^{\prime}\right)^{2}\right)^{3/2}}.
Informações dadas/assumidas (tiradas do enunciado):
  • r=r(\theta) é uma função suficientemente suave (tem derivadas necessárias).
  • Notação: r'=\dfrac{dr}{d\theta} e r''=\dfrac{d^{2}r}{d\theta^{2}}.
  • Regularidade: o vetor velocidade não é nulo, i.e. r^{2}+ (r')^{2}\neq 0 para os \theta considerados (garante que a parametrização por \theta é admissível para calcular comprimento e curvatura).

Passo 2

Primeira ideia usada (fórmula do comprimento de arco): para uma curva parametrizada por \theta com posição \mathbf{r}(\theta)=(x(\theta),y(\theta)), o comprimento de arco entre \theta_{0} e \theta_{1} é
l=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{\bigl(x'(\theta)\bigr)^{2}+\bigl(y'(\theta)\bigr)^{2}}\, d\theta,
onde x'=\dfrac{dx}{d\theta} e y'=\dfrac{dy}{d\theta}. Isso vem do definição elemental: dividir a curva em pequenos segmentos e somar suas normas, passando ao limite.
Agora escrevemos a curva polar em coordenadas cartesianas:
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta.
Calculemos as derivadas primeiras (vai ser preciso para o comprimento):
x'(\theta)=r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta,
y'(\theta)=r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta.
Agora formamos \bigl(x'(\theta)\bigr)^{2}+\bigl(y'(\theta)\bigr)^{2}. Para não pular etapas, expandimos cuidadosamente:
\begin{aligned} \bigl(x'\bigr)^{2} &= \bigl(r'\cos\theta - r\sin\theta\bigr)^{2} = r'^{2}\cos^{2}\theta - 2r r'\sin\theta\cos\theta + r^{2}\sin^{2}\theta,\\[4pt] \bigl(y'\bigr)^{2} &= \bigl(r'\sin\theta + r\cos\theta\bigr)^{2} = r'^{2}\sin^{2}\theta + 2r r'\sin\theta\cos\theta + r^{2}\cos^{2}\theta. \end{aligned}
Somando as duas expressões, os termos cruzados se cancelam:
\bigl(x'\bigr)^{2}+\bigl(y'\bigr)^{2} = r'^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) + r^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta) = r'^{2} + r^{2}.
Portanto a velocidade (módulo do vetor derivada) é \sqrt{r^{2}+r'^{2}}, e o comprimento de arco fica
l=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{r^{2}+\left(r'\right)^{2}}\, d\theta,
que é exatamente a fórmula pedida.
Cheque rápido (exemplo): para um círculo de raio constante r(\theta)=a tem-se r'=0 e a integral dá l=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} a\, d\theta = a(\theta_{1}-\theta_{0}), que é o comprimento correto do arco de círculo — bom sinal.]

Passo 3

Agora vamos para a curvatura. Primeiro, lembrança didática do que é curvatura: para uma curva plana parametrizada por um parâmetro t (aqui t=\theta), a curvatura (magnitude) pode ser calculada por
k(\theta)=\frac{\bigl|x'(\theta)\,y''(\theta)-y'(\theta)\,x''(\theta)\bigr|}{\bigl((x'(\theta))^{2}+(y'(\theta))^{2}\bigr)^{3/2}}.
Essa fórmula vem da definição k= \bigl\|\dfrac{d\mathbf{T}}{ds}\bigr\| onde \mathbf{T} é o versor tangente e s é o comprimento de arco; a forma acima é a expressão prática em função de derivadas em qualquer parâmetro.
Já temos x' e y'. Calculamos agora x'' e y'' (derivando mais uma vez em \theta):
Derivando x'(\theta)=r'\cos\theta - r\sin\theta,
x''(\theta)=r''\cos\theta - r'\sin\theta - r'\sin\theta - r\cos\theta = r''\cos\theta - 2r'\sin\theta - r\cos\theta.
Derivando y'(\theta)=r'\sin\theta + r\cos\theta,
y''(\theta)=r''\sin\theta + r'\cos\theta + r'\cos\theta - r\sin\theta = r''\sin\theta + 2r'\cos\theta - r\sin\theta.
Agora precisamos do numerador sem o valor absoluto (vamos computear a expressão algébrica):
N(\theta)=x'(\theta)\,y''(\theta)-y'(\theta)\,x''(\theta).
Substituindo as quatro expressões e expandindo (vou mostrar os termos e como se simplificam, sem pular passos essenciais):
Escrevendo de forma compacta para manipular:
\begin{aligned} x' &= r'\cos\theta - r\sin\theta,\\\ y' &= r'\sin\theta + r\cos\theta,\\\ x''&= r''\cos\theta - 2r'\sin\theta - r\cos\theta,\\\ y''&= r''\sin\theta + 2r'\cos\theta - r\sin\theta. \end{aligned}
Multiplicando e expandindo,
\begin{aligned} x'y'' &= (r'\cos\theta - r\sin\theta)\bigl(r''\sin\theta + 2r'\cos\theta - r\sin\theta\bigr)\\\ &= r'r''\cos\theta\sin\theta + 2r'^{2}\cos^{2}\theta - r r'\cos\theta\sin\theta\\\ &\quad - r r''\sin^{2}\theta - 2r r'\sin\theta\cos\theta + r^{2}\sin^{2}\theta, \end{aligned}
e
\begin{aligned} y'x'' &= (r'\sin\theta + r\cos\theta)\bigl(r''\cos\theta - 2r'\sin\theta - r\cos\theta\bigr)\\\ &= r'r''\sin\theta\cos\theta - 2r'^{2}\sin^{2}\theta - r r'\sin\theta\cos\theta\\\ &\quad + r r''\cos^{2}\theta - 2r r'\sin\theta\cos\theta - r^{2}\cos^{2}\theta. \end{aligned}
Agora subtraindo x'y'' - y'x'', observe que muitos termos se cancelam:
  • Os termos r'r''\cos\theta\sin\theta aparecem com sinais opostos e se cancelam.
  • Os termos lineares em r r'\cos\theta\sin\theta também se cancelam.
  • Os termos em r r'\sin\theta\cos\theta somam com sinais que se anulam.
    Restam os termos mais simples que se combinam usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Agrupando os restantes obtemos
\begin{aligned} N(\theta) &= 2r'^{2}\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr) - r r''\bigl(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\bigr) + r^{2}\bigl(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\bigr)\\\ &= 2r'^{2} - r r'' + r^{2}. \end{aligned}
Portanto o numerador da fórmula da curvatura (antes do valor absoluto) é exatamente 2r'^{2}-r r''+r^{2}.
O denominador já o conhecemos da etapa do comprimento: (x'^{2}+y'^{2})^{3/2} = \bigl(r^{2}+r'^{2}\bigr)^{3/2}.
Logo a curvatura (magnitude) vale
k(\theta)=\frac{\bigl|\,2r'^{2}-r r''+r^{2}\,\bigr|}{\bigl(r^{2}+r'^{2}\bigr)^{3/2}}.
Se a convenção do sinal da curvatura não for necessária, muitas vezes apresenta-se sem o valor absoluto quando se considera que o numerador já dá o sinal correto pela orientação; o enunciado pede exatamente a expressão sem barras, então escrevemos
k(\theta)=\frac{2r'^{2}-r r''+r^{2}}{\bigl(r^{2}+r'^{2}\bigr)^{3/2}},
que é o resultado desejado.

Passo 4

Cheque rápido com o círculo (sanity check): para r(\theta)=a constante temos r'=0 e r''=0. Substituindo na fórmula de curvatura dá
k=\frac{2\cdot 0 - a\cdot 0 + a^{2}}{(a^{2}+0)^{3/2}}=\frac{a^{2}}{a^{3}}=\frac{1}{a},
que é a curvatura de um círculo de raio a — perfeito.
Resumo do método usado (para você lembrar na prova): parametrizar por \theta em cartesiano, usar a fórmula do comprimento baseada na velocidade para o arco, e usar a fórmula padrão da curvatura em termos de x',y',x'',y'', fazendo as contas e aproveitando cancelamentos trigonométricos.
Força! Se quiser, posso resumir essas derivadas em uma folha de cola bem organizadinha para levar na revisão.

Resposta

l=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{r^{2}+\left(r^{\prime}\right)^{2}}\, d\theta
k(\theta)=\frac{2\left(r^{\prime}\right)^{2}-r r^{\prime\prime}+r^{2}}{\left(r^{2}+\left(r^{\prime}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}

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