Seja r=r(\theta) uma curva regular dada por em coordenadas polares. Verifique que o comprimento de arco da curva de \theta_{0} a \theta_{1} é obtido por
l=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{r^{2}+\left(r^{\prime}\right)^{2}} d \theta
Informações dadas/assumidas (tiradas do enunciado):
r=r(\theta) é uma função suficientemente suave (tem derivadas necessárias).
Notação: r'=\dfrac{dr}{d\theta} e r''=\dfrac{d^{2}r}{d\theta^{2}}.
Regularidade: o vetor velocidade não é nulo, i.e. r^{2}+ (r')^{2}\neq 0 para os \theta considerados (garante que a parametrização por \theta é admissível para calcular comprimento e curvatura).
Passo 2
Primeira ideia usada (fórmula do comprimento de arco): para uma curva parametrizada por \theta com posição \mathbf{r}(\theta)=(x(\theta),y(\theta)), o comprimento de arco entre \theta_{0} e \theta_{1} é
onde x'=\dfrac{dx}{d\theta} e y'=\dfrac{dy}{d\theta}. Isso vem do definição elemental: dividir a curva em pequenos segmentos e somar suas normas, passando ao limite.
Agora escrevemos a curva polar em coordenadas cartesianas:
Cheque rápido (exemplo): para um círculo de raio constante r(\theta)=a tem-se r'=0 e a integral dá l=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} a\, d\theta = a(\theta_{1}-\theta_{0}), que é o comprimento correto do arco de círculo — bom sinal.]
Passo 3
Agora vamos para a curvatura. Primeiro, lembrança didática do que é curvatura: para uma curva plana parametrizada por um parâmetro t (aqui t=\theta), a curvatura (magnitude) pode ser calculada por
Essa fórmula vem da definição k= \bigl\|\dfrac{d\mathbf{T}}{ds}\bigr\| onde \mathbf{T} é o versor tangente e s é o comprimento de arco; a forma acima é a expressão prática em função de derivadas em qualquer parâmetro.
Já temos x' e y'. Calculamos agora x'' e y'' (derivando mais uma vez em \theta):
Agora subtraindo x'y'' - y'x'', observe que muitos termos se cancelam:
Os termos r'r''\cos\theta\sin\theta aparecem com sinais opostos e se cancelam.
Os termos lineares em r r'\cos\theta\sin\theta também se cancelam.
Os termos em r r'\sin\theta\cos\theta somam com sinais que se anulam.
Restam os termos mais simples que se combinam usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Agrupando os restantes obtemos
\begin{aligned} N(\theta) &= 2r'^{2}\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr) - r r''\bigl(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\bigr) + r^{2}\bigl(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\bigr)\\\ &= 2r'^{2} - r r'' + r^{2}. \end{aligned}
Portanto o numerador da fórmula da curvatura (antes do valor absoluto) é exatamente 2r'^{2}-r r''+r^{2}.
O denominador já o conhecemos da etapa do comprimento: (x'^{2}+y'^{2})^{3/2} = \bigl(r^{2}+r'^{2}\bigr)^{3/2}.
Se a convenção do sinal da curvatura não for necessária, muitas vezes apresenta-se sem o valor absoluto quando se considera que o numerador já dá o sinal correto pela orientação; o enunciado pede exatamente a expressão sem barras, então escrevemos
que é a curvatura de um círculo de raio a — perfeito.
Resumo do método usado (para você lembrar na prova): parametrizar por \theta em cartesiano, usar a fórmula do comprimento baseada na velocidade para o arco, e usar a fórmula padrão da curvatura em termos de x',y',x'',y'', fazendo as contas e aproveitando cancelamentos trigonométricos.
Força! Se quiser, posso resumir essas derivadas em uma folha de cola bem organizadinha para levar na revisão.