Suponha que três bolas vermelhas e três bolas brancas são arremessadas aleatoriamente dentro de três caixas e que todos arremessos são independentes. Qual é a probabilidade que cada caixa contenha uma bola vermelha e uma bola branca?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem 6 bolas (3 vermelhas e 3 brancas) e 3 caixas, e cada bola cai numa caixa de forma totalmente aleatória e independente. O conteúdo é probabilidade discreta – a gente vai precisar montar o espaço amostral total e depois contar quantos desses resultados dão exatamente 1 bola vermelha e 1 bola branca em cada caixa.

Passo 2

Primeiro a gente define o tamanho do espaço amostral, ou seja, todas as formas possíveis de distribuir as 6 bolas entre as 3 caixas. Como cada bola pode ir para qualquer uma das 3 caixas, de modo independente, o total de jeitos é
3^6
(explicando: para cada uma das 6 bolas, escolhemos uma das 3 caixas, e multiplicamos todas as escolhas).

Passo 3

Agora vamos contar quantos resultados fazem “cada caixa ter 1 vermelha e 1 branca”. Pense assim:
  1. Distribuir as 3 bolas vermelhas de modo que fique uma em cada caixa. O número de jeitos de colocar as vermelhas é igual às permutações das caixas, ou seja:
3! = 6
2) De forma independente, distribuir as 3 bolas brancas, também uma em cada caixa: novamente
3! = 6
Como as escolhas para vermelhas e brancas não interferem, pelo Princípio Multiplicativo, o total de resultados “favoráveis” é
3! times 3! = 6 times 6 = 36

Passo 4

A probabilidade é então “número de casos favoráveis” dividido por “número de casos totais”:
P = 363^6 = 36729 = 481

Resposta

A probabilidade de cada caixa conter uma bola vermelha e uma bola branca é 481,.

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