Suponha que três variáveis aleatórias X_{1}, X_{2} e X_{3} tenham uma distribuição conjunta contínua com densidade dada por f_{X_{1}, X_{2}, X_{3}}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=8 x_{1} x_{2} x_{3} \boldsymbol{I}_{A}\left(x_{1}, x_{2} x_{3}\right) com A= \{(0,1) \times(0,1) \times(0,1)\}. Suponha também que Y_{1}=X_{1}, Y_{2}=X_{1} X_{2}, Y_{3}=X_{1} X_{2} X_{3}. Encontre a densidade de \boldsymbol{Y}=(Y 1, Y 2, Y 3).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumindo para não se perder):
O pedido: encontrar a densidade conjunta de \boldsymbol{Y}=(Y_1,Y_2,Y_3).
Anote mentalmente: precisamos descrever o suporte (onde a densidade de Y é não nula), obter a inversa da transformação X=h(Y) e calcular o fator de escala (o Jacobiano) para aplicar a fórmula de mudança de variáveis. Não resolvo nada ainda — só deixei tudo claro.
Passo 2
Achar a inversa da transformação (isto é: expressar X em função de Y) e o suporte em termos de Y.
onde J_h(y) é a matriz Jacobiana da inversa h, isto é, a matriz cujas entradas são \dfrac{\partial x_i}{\partial y_j}. O valor absoluto aparece porque o determinante mede a variação de volume local (pode ser negativo, mas densidade deve ser não negativa).
Vou aplicar essa fórmula: já tenho h(y) e o suporte; falta calcular o determinante do Jacobiano e substituir na densidade original.
Passo 4
Calcular explicitamente o Jacobiano da inversa h(y).
Recordando h(y)=(x_1,x_2,x_3)=\left(y_1,\dfrac{y_2}{y_1},\dfrac{y_3}{y_2}\right), calcule as derivadas parciais:
Observe que essa matriz é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal são zero). Para matrizes triangulares o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Portanto