Suponha que três variáveis aleatórias X_{1}, X_{2} e X_{3} tenham uma distribuição conjunta contínua com densidade dada por f_{X_{1}, X_{2}, X_{3}}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=8 x_{1} x_{2} x_{3} \boldsymbol{I}_{A}\left(x_{1}, x_{2} x_{3}\right) com A= \{(0,1) \times(0,1) \times(0,1)\}. Suponha também que Y_{1}=X_{1}, Y_{2}=X_{1} X_{2}, Y_{3}=X_{1} X_{2} X_{3}. Encontre a densidade de \boldsymbol{Y}=(Y 1, Y 2, Y 3).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumindo para não se perder):
  • Foi dada a densidade conjunta de \,X_1,X_2,X_3,:
f_{X_1,X_2,X_3}(x_1,x_2,x_3)=8\,x_1 x_2 x_3\;\mathbf{I}_A(x_1,x_2,x_3),
com A=(0,1)\times(0,1)\times(0,1). Ou seja, cada X_i toma valores em (0,1) e fora desse cubo a densidade é zero.
  • Foi definida a transformação (variáveis novas):
Y_1=X_1,\qquad Y_2=X_1 X_2,\qquad Y_3=X_1 X_2 X_3.
  • O pedido: encontrar a densidade conjunta de \boldsymbol{Y}=(Y_1,Y_2,Y_3).
Anote mentalmente: precisamos descrever o suporte (onde a densidade de Y é não nula), obter a inversa da transformação X=h(Y) e calcular o fator de escala (o Jacobiano) para aplicar a fórmula de mudança de variáveis. Não resolvo nada ainda — só deixei tudo claro.

Passo 2

Achar a inversa da transformação (isto é: expressar X em função de Y) e o suporte em termos de Y.
Das definições:
Y_1 = X_1,\qquad Y_2 = X_1 X_2,\qquad Y_3 = X_1 X_2 X_3.
Supondo X_1,X_2,X_3>0 (o que vale no suporte), podemos resolver em ordem:
X_1 = Y_1,
X_2 = \frac{Y_2}{Y_1}\quad\text{(pois }Y_2/X_1 = X_2\text{)},
X_3 = \frac{Y_3}{Y_2}\quad\text{(pois }Y_3/Y_2 = X_3\text{)}.
Portanto a inversa é
h:\\ (y_1,y_2,y_3)\mapsto (x_1,x_2,x_3)=\left(y_1,\\ \frac{y_2}{y_1},\\ \frac{y_3}{y_2}\right).
Agora o suporte em Y: como cada X_i\in(0,1),
  • X_1\in(0,1) implica y_1\in(0,1).
  • X_2\in(0,1) implica 0<\dfrac{y_2}{y_1}<1 0<y_2<y_1.
  • X_3\in(0,1) implica 0<\dfrac{y_3}{y_2}<1 0<y_3<y_2.
Logo o suporte de \boldsymbol{Y} é
\{(y_1,y_2,y_3): 0<y_3<y_2<y_1<1\}.

Passo 3

Lembrete didático: fórmula de mudança de variáveis para densidade conjunta
Se Y=g(X) é uma transformação diferenciável e invertível em uma região, com inversa X=h(Y), então a densidade conjunta de Y é dada por
f_Y(y)=f_X\big(h(y)\big)\,\left|\det\!\big(J_{h}(y)\big)\right|,
onde J_h(y) é a matriz Jacobiana da inversa h, isto é, a matriz cujas entradas são \dfrac{\partial x_i}{\partial y_j}. O valor absoluto aparece porque o determinante mede a variação de volume local (pode ser negativo, mas densidade deve ser não negativa).
Vou aplicar essa fórmula: já tenho h(y) e o suporte; falta calcular o determinante do Jacobiano e substituir na densidade original.

Passo 4

Calcular explicitamente o Jacobiano da inversa h(y).
Recordando h(y)=(x_1,x_2,x_3)=\left(y_1,\dfrac{y_2}{y_1},\dfrac{y_3}{y_2}\right), calcule as derivadas parciais:
  • Para x_1=y_1:
\frac{\partial x_1}{\partial y_1}=1,\qquad \frac{\partial x_1}{\partial y_2}=0,\qquad \frac{\partial x_1}{\partial y_3}=0.
  • Para x_2=\dfrac{y_2}{y_1}:
\frac{\partial x_2}{\partial y_1}=-\frac{y_2}{y_1^2},\qquad \frac{\partial x_2}{\partial y_2}=\frac{1}{y_1},\qquad \frac{\partial x_2}{\partial y_3}=0.
  • Para x_3=\dfrac{y_3}{y_2}:
\frac{\partial x_3}{\partial y_1}=0,\qquad \frac{\partial x_3}{\partial y_2}=-\frac{y_3}{y_2^2},\qquad \frac{\partial x_3}{\partial y_3}=\frac{1}{y_2}.
Assim a matriz Jacobiana é (colocando em forma de matriz):
J_h(y)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\dfrac{y_2}{y_1^2} & \dfrac{1}{y_1} & 0\\[6pt] 0 & -\dfrac{y_3}{y_2^2} & \dfrac{1}{y_2} \end{pmatrix}.
Observe que essa matriz é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal são zero). Para matrizes triangulares o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Portanto
\det\!\big(J_h(y)\big)=1\cdot\frac{1}{y_1}\cdot\frac{1}{y_2}=\frac{1}{y_1 y_2}.
Como y_1,y_2>0 no suporte, o valor absoluto é o mesmo:
\left|\det J_h(y)\right|=\frac{1}{y_1 y_2}.]

Passo 5

Substituir x=h(y) na densidade original f_{X_1,X_2,X_3}(x).
A densidade original é f_X(x)=8\,x_1 x_2 x_3 dentro do cubo (0,1)^3. Substituindo
x_1=y_1,\qquad x_2=\frac{y_2}{y_1},\qquad x_3=\frac{y_3}{y_2},
temos
x_1 x_2 x_3 = y_1\cdot\frac{y_2}{y_1}\cdot\frac{y_3}{y_2}=y_3.
Portanto
f_X\big(h(y)\big)=8\,y_3
sempre que (y_1,y_2,y_3) corresponda a um (x_1,x_2,x_3) no cubo (isto é, sempre que 0<y_3<y_2<y_1<1).

Passo 6

Aplicar a fórmula de mudança de variáveis e simplificar.
Pela fórmula:
f_Y(y)=f_X\big(h(y)\big)\cdot\left|\det J_h(y)\right| = \big(8\,y_3\big)\cdot\frac{1}{y_1 y_2}.
Logo, dentro do suporte obtemos
f_{Y_1,Y_2,Y_3}(y_1,y_2,y_3)=\frac{8\,y_3}{y_1 y_2},\qquad\text{para }0<y_3<y_2<y_1<1,
e fora dessa região a densidade vale zero.
Para ter confiança, faço uma verificação rápida de normalização (integração = 1):
Calcule
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{y_1}\!\int_{0}^{y_2} \frac{8\,y_3}{y_1 y_2}\,dy_3\,dy_2\,dy_1.
Integre em y_3:
\int_{0}^{y_2}\frac{8\,y_3}{y_1 y_2}\,dy_3=\frac{8}{y_1 y_2}\cdot\frac{y_2^2}{2}=\frac{4y_2}{y_1}.
Agora em y_2:
\int_{0}^{y_1}\frac{4y_2}{y_1}\,dy_2=\frac{4}{y_1}\cdot\frac{y_1^2}{2}=2y_1.
Finalmente em y_1:
\int_{0}^{1}2y_1\,dy_1=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Então está tudo consistente: é uma densidade válida.

Resposta

f_{Y_1,Y_2,Y_3}(y_1,y_2,y_3)=\frac{8\,y_3}{y_1 y_2}\quad\text{se }0<y_3<y_2<y_1<1,
f_{Y_1,Y_2,Y_3}(y_1,y_2,y_3)=0\quad\text{caso contrário.}á

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