Suponha que duas variáveis aleatórias X_{1} e X_{2} tenham uma distribuição conjunta contínua com densidade dada por f_{X_{1}, X_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\right)=4 x_{1} x_{2} \boldsymbol{I}_{A}\left(x_{1}, x_{2}\right) com A=\{(0,1) \times(0,1)\}. Determine a densidade conjunta de Y_{1} e Y_{2} que são definidas pelas relações: Y_{1}=\frac{X_{1}}{X_{2}} e Y_{2}=X_{1} X_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a densidade conjunta de Y_{1} e Y_{2}.
  • Dado: a densidade conjunta de (X_{1},X_{2}) é
f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) = 4 x_{1} x_{2}\,\boldsymbol{I}_{A}(x_{1},x_{2})
com A = (0,1)\times(0,1). Ou seja, f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=4x_{1}x_{2} quando 0<x_{1}<1 e 0<x_{2}<1, e zero caso contrário.
  • Definições das novas variáveis:
Y_{1} = \frac{X_{1}}{X_{2}},\qquad Y_{2} = X_{1}X_{2}.
  • Pergunta: determinar a densidade conjunta f_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2}).

Passo 2

Primeiro precisamos inverter a transformação (x_{1},x_{2})\mapsto (y_{1},y_{2}). Escrevendo
y_{1}=\frac{x_{1}}{x_{2}},\qquad y_{2}=x_{1}x_{2},
multiplicando y_{1} por y_{2} obtemos
y_{1}y_{2} = \frac{x_{1}}{x_{2}}\cdot x_{1}x_{2} = x_{1}^{2}.
Como x_{1}>0 no domínio dado, temos
x_{1} = \sqrt{y_{1}y_{2}}.
Usando y_{1}=x_{1}/x_{2} obtemos
x_{2} = \frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{\sqrt{y_{1}y_{2}}}{y_{1}} = \sqrt{\frac{y_{2}}{y_{1}}}.
Portanto a inversa é
x_{1} = \sqrt{y_{1}y_{2}},\qquad x_{2} = \sqrt{\frac{y_{2}}{y_{1}}}.
Observação: tomamos as raízes positivas porque x_{1},x_{2}>0.

Passo 3

Agora calculamos o Jacobiano da transformação inversa (y_{1},y_{2})\mapsto(x_{1},x_{2}). Definimos
x_{1}(y_{1},y_{2}) = y_{1}^{1/2}y_{2}^{1/2},\qquad x_{2}(y_{1},y_{2}) = y_{2}^{1/2}y_{1}^{-1/2}.
Calculamos as derivadas parciais (vou mostrar cada termo para não pular etapas):
  • \displaystyle \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} = \frac{1}{2} y_{1}^{-1/2} y_{2}^{1/2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y_{2}}{y_{1}}}.
  • \displaystyle \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} = \frac{1}{2} y_{1}^{1/2} y_{2}^{-1/2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y_{1}}{y_{2}}}.
  • \displaystyle \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} = -\frac{1}{2} y_{2}^{1/2} y_{1}^{-3/2} = -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y_{2}}{y_{1}^{3}}}.
  • \displaystyle \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} = \frac{1}{2} y_{2}^{-1/2} y_{1}^{-1/2} = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{y_{1}y_{2}}}.
O determinante do Jacobiano é
\det\!J = \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}}\frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} - \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}}\frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}}.
Substituindo os termos e simplificando cuidadosamente:
\det\!J = \frac{1}{4}\left(y_{1}^{-1}\right) - \left(-\frac{1}{4}y_{1}^{-1}\right) = \frac{1}{2}y_{1}^{-1}.
Logo o valor absoluto do Jacobiano é
\left|\det\!J\right| = \frac{1}{2}\frac{1}{y_{1}}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de mudança de variáveis para densidades contínuas:
f_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2}) = f_{X_{1},X_{2}}\big(x_{1}(y),x_{2}(y)\big)\cdot \left|\det\!J(y)\right|.
Substituímos f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=4x_{1}x_{2} e lembramos que x_{1}x_{2}=y_{2}. Então
f_{X_{1},X_{2}}\big(x(y)\big) = 4\,y_{2}.
Multiplicando pelo Jacobiano:
f_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2}) = 4y_{2}\cdot \frac{1}{2}\frac{1}{y_{1}} = 2\,\frac{y_{2}}{y_{1}}.

Passo 5

Precisamos determinar para quais (y_{1},y_{2}) essa fórmula vale (ou seja, imagem de A pela transformação). As condições vêm de 0<x_{1}<1 e 0<x_{2}<1.
  • x_{1}=\sqrt{y_{1}y_{2}}>0 implica y_{1}>0 e y_{2}>0.
  • x_{2}=\sqrt{\dfrac{y_{2}}{y_{1}}}>0 (já garantido pelos pontos anteriores) e x_{2}<1
\frac{y_{2}}{y_{1}} < 1 \quad\Longrightarrow\quad y_{2} < y_{1}.
  • x_{1}<1
y_{1}y_{2} < 1.
Portanto a região de suporte é
\{(y_{1},y_{2})\mid y_{1}>0,\; y_{2}>0,\; y_{2}<y_{1},\; y_{1}y_{2}<1\}.
Resumindo: fora dessa região a densidade é zero.

Passo 6

Como verificação (útil na prova e também pra ficar mais seguro), integro f_{Y_{1},Y_{2}} sobre a região para confirmar que o total dá 1 (controle rápido de consistência). A integral é
\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\min(y_{1},\,1/y_{1})} 2\frac{y_{2}}{y_{1}}\,dy_{2}\,dy_{1}.
Dividimos a integral em duas partes: 0<y_{1}<1 (aqui \min(y_{1},1/y_{1})=y_{1}) e y_{1}>1 (aqui \min=\tfrac{1}{y_{1}}).
  • Para 0<y_{1}<1:
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{y_{1}}2\frac{y_{2}}{y_{1}}dy_{2}\right)dy_{1} = \int_{0}^{1}\frac{2}{y_{1}}\cdot\frac{y_{1}^{2}}{2}\,dy_{1} = \int_{0}^{1} y_{1}\,dy_{1} = \tfrac{1}{2}.
  • Para 1<y_{1}<\infty:
\int_{1}^{\infty}\left(\int_{0}^{1/y_{1}}2\frac{y_{2}}{y_{1}}dy_{2}\right)dy_{1} = \int_{1}^{\infty}\frac{2}{y_{1}}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y_{1}}\right)^{2}dy_{1} = \int_{1}^{\infty}\frac{1}{y_{1}^{3}}\,dy_{1} = \tfrac{1}{2}.
Somando as duas partes obtemos 1. Isso confirma que a densidade encontrada está coerente.

Resposta

f_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2}) = \begin{cases} 2\,\dfrac{y_{2}}{y_{1}}, & \text{se } y_{1}>0,\; y_{2}>0,\; y_{2}<y_{1},\; y_{1}y_{2}<1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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