Suponha que duas variáveis aleatórias
e
tenham uma distribuição conjunta contínua com densidade dada por
com
. Determine a densidade conjunta de
e
que são definidas pelas relações:
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a densidade conjunta de
e
.
- Dado: a densidade conjunta de
é
com
. Ou seja,
quando
e
, e zero caso contrário.
- Definições das novas variáveis:
- Pergunta: determinar a densidade conjunta
.
Passo 2
Primeiro precisamos inverter a transformação
. Escrevendo
multiplicando
por
obtemos
Como
no domínio dado, temos
Usando
obtemos
Portanto a inversa é
Observação: tomamos as raízes positivas porque
.
Passo 3
Agora calculamos o Jacobiano da transformação inversa
. Definimos
Calculamos as derivadas parciais (vou mostrar cada termo para não pular etapas):
O determinante do Jacobiano é
Substituindo os termos e simplificando cuidadosamente:
Logo o valor absoluto do Jacobiano é
Passo 4
Aplicamos a fórmula de mudança de variáveis para densidades contínuas:
Substituímos
e lembramos que
. Então
Multiplicando pelo Jacobiano:
Passo 5
Precisamos determinar para quais
essa fórmula vale (ou seja, imagem de
pela transformação). As condições vêm de
e
.
-
implica e . -
(já garantido pelos pontos anteriores) e dá
-
dá
Portanto a região de suporte é
Resumindo: fora dessa região a densidade é zero.
Passo 6
Como verificação (útil na prova e também pra ficar mais seguro), integro
sobre a região para confirmar que o total dá
(controle rápido de consistência). A integral é
Dividimos a integral em duas partes:
(aqui
) e
(aqui
).
- Para
:
- Para
:
Somando as duas partes obtemos
. Isso confirma que a densidade encontrada está coerente.