Simplifique as equaçŏes de Navier-Stokes e escreva a equação simplificada obtida no gabarito ( 9 pts).
\rho\left(\frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}\right)=\rho g_{z}-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado me deu a equação do momento na direção z das equações de Navier–Stokes para um fluido newtoniano:
\rho\!\left(\frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}\right) = \rho g_{z}-\frac{\partial p}{\partial z} +\mu\!\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}\right).
O pedido é: simplificar essa equação e escrever a equação simplificada (gabarito).
Informações dadas explícitas: a expressão completa do termo inercial (esquerda), forçamento por gravidade \rho g_{z}, gradiente de pressão -\frac{\partial p}{\partial z} e termo viscoso \mu\nabla^{2}w.

Passo 2

Entendendo cada termo (breve aulinha para você não se perder):
  • \rho é a densidade do fluido (massa por volume).
  • w(x,y,z,t) é a componente da velocidade na direção z.
  • \frac{\partial w}{\partial t} é a variação temporal local da velocidade em z (aceleração local).
  • u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z} são as derivadas convectivas (aceleração advectiva) — representam como a variação espacial da velocidade combinada com o transporte pelo próprio escoamento gera acelerações.
  • \rho g_{z} é a força de gravidade por unidade de volume na direção z (se g_z=-g então aponta para baixo).
  • -\frac{\partial p}{\partial z} é a força de pressão por unidade de volume na direção z.
  • \mu\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}\right) é o termo viscoso (difusão de momento), com \mu viscosidade dinâmica e \nabla^{2}w o laplaciano de w.

Passo 3

Escolhendo hipóteses razoáveis para simplificar (explico por que são usadas):
Uma simplificação muito comum e simples — e frequentemente pedida em provas — é assumir que a aceleração vertical e as forças viscosas são desprezíveis em comparação com o peso do fluido e o gradiente de pressão. Essas hipóteses são válidas quando:
  • o escoamento muda muito lentamente no tempo (fluxo quase-estacionário) e as velocidades verticais são pequenas, de modo que as acelerações (locais e convectivas) são muito menores que a gravidade; e
  • os efeitos viscosos na direção z são pequenos (por exemplo fluidos de baixa viscosidade em escalas grandes ou regiões fora de camadas limites onde gradientes de velocidade são suaves).
    Formalmente, isso corresponde a desprezar o termo inercial à esquerda e o termo viscoso à direita. Vou aplicar exatamente essas hipóteses para obter a forma hidroestática da equação.

Passo 4

Aplicando as hipóteses: desprezo os termos de aceleração (todo o parêntese multiplicado por \rho) e desprezo o termo viscoso. Então a equação original
\rho\!\left(\frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}\right) = \rho g_{z}-\frac{\partial p}{\partial z} +\mu\nabla^{2}w
fica, ao anular o lado esquerdo e o termo viscoso,
0 = \rho g_{z} - \frac{\partial p}{\partial z}.

Passo 5

Rearranjando essa equação temos a forma simplificada (equilíbrio hidroestático):
\frac{\partial p}{\partial z} = \rho g_{z}.
Explicando: isso diz que, quando as acelerações e viscosidade são desprezíveis, o gradiente vertical de pressão equilibra exatamente o peso do fluido por unidade de volume.

Passo 6

Comentário final (quando usar isso na prova e como interpretar):
  • Use essa simplificação quando for justificado fisicamente (por exemplo: atmosfera em larga escala, fluidos em repouso ou com velocidades verticais muito pequenas, reservatórios estáticos).
  • Se quiser a pressão como função de z, integre: p(z)=\int \rho g_{z}\,dz + C. Se \rho for constante e g_{z}=-g, obtém-se p(z)= -\rho g z + C (ou, rearranjando conforme referência, a forma usual p=p_{0}+\rho g h).
  • Se as hipóteses não se aplicarem (por exemplo escoamentos rápidos, camadas limites, pequenas escalas onde viscosidade importa), não se pode desprezar os termos inerciais ou viscosos.

Resposta

\frac{\partial p}{\partial z}=\rho g_{z}

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