Simplifique as equaçŏes de Navier-Stokes e escreva a equação simplificada obtida no gabarito ( 9 pts).
Passo 1
O enunciado me deu a equação do momento na direção
das equações de Navier–Stokes para um fluido newtoniano:
O pedido é: simplificar essa equação e escrever a equação simplificada (gabarito).
Informações dadas explícitas: a expressão completa do termo inercial (esquerda), forçamento por gravidade , gradiente de pressão
e termo viscoso
.
Informações dadas explícitas: a expressão completa do termo inercial (esquerda), forçamento por gravidade
Passo 2
Entendendo cada termo (breve aulinha para você não se perder):
-
é a densidade do fluido (massa por volume). -
é a componente da velocidade na direção . -
é a variação temporal local da velocidade em (aceleração local). -
são as derivadas convectivas (aceleração advectiva) — representam como a variação espacial da velocidade combinada com o transporte pelo próprio escoamento gera acelerações. -
é a força de gravidade por unidade de volume na direção (se então aponta para baixo). -
é a força de pressão por unidade de volume na direção . -
é o termo viscoso (difusão de momento), com viscosidade dinâmica e o laplaciano de .
Passo 3
Escolhendo hipóteses razoáveis para simplificar (explico por que são usadas):
Uma simplificação muito comum e simples — e frequentemente pedida em provas — é assumir que a aceleração vertical e as forças viscosas são desprezíveis em comparação com o peso do fluido e o gradiente de pressão. Essas hipóteses são válidas quando:
Uma simplificação muito comum e simples — e frequentemente pedida em provas — é assumir que a aceleração vertical e as forças viscosas são desprezíveis em comparação com o peso do fluido e o gradiente de pressão. Essas hipóteses são válidas quando:
- o escoamento muda muito lentamente no tempo (fluxo quase-estacionário) e as velocidades verticais são pequenas, de modo que as acelerações (locais e convectivas) são muito menores que a gravidade; e
- os efeitos viscosos na direção
são pequenos (por exemplo fluidos de baixa viscosidade em escalas grandes ou regiões fora de camadas limites onde gradientes de velocidade são suaves).
Formalmente, isso corresponde a desprezar o termo inercial à esquerda e o termo viscoso à direita. Vou aplicar exatamente essas hipóteses para obter a forma hidroestática da equação.
Passo 4
Aplicando as hipóteses: desprezo os termos de aceleração (todo o parêntese multiplicado por
) e desprezo o termo viscoso. Então a equação original
fica, ao anular o lado esquerdo e o termo viscoso,
Passo 5
Rearranjando essa equação temos a forma simplificada (equilíbrio hidroestático):
Explicando: isso diz que, quando as acelerações e viscosidade são desprezíveis, o gradiente vertical de pressão equilibra exatamente o peso do fluido por unidade de volume.
Passo 6
Comentário final (quando usar isso na prova e como interpretar):
- Use essa simplificação quando for justificado fisicamente (por exemplo: atmosfera em larga escala, fluidos em repouso ou com velocidades verticais muito pequenas, reservatórios estáticos).
- Se quiser a pressão como função de
, integre: . Se for constante e , obtém-se (ou, rearranjando conforme referência, a forma usual ). - Se as hipóteses não se aplicarem (por exemplo escoamentos rápidos, camadas limites, pequenas escalas onde viscosidade importa), não se pode desprezar os termos inerciais ou viscosos.