Suponha que u_n seja uma sequência monótona tal que u_n <= 5. Esta sequência deve convergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma sequência chamada que é monótona, ou seja, está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Além disso, todos os termos dessa sequência são menores ou iguais a 5 ( ). A pergunta é: essa sequência precisa convergir? E o que mais podemos dizer sobre o seu limite?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior. No nosso caso, é monótona, mas não foi especificado se é crescente ou decrescente.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre sequências limitadas. Uma sequência é limitada se há algum número que serve como limite superior (ou inferior) para todos os seus termos. Aqui, sabemos que todos os termos de são menores ou iguais a 5, então 5 é um limite superior.

Passo 4

Existe um teorema importante chamado Teorema da Monotonicidade. Ele diz que toda sequência que é monótona e limitada (ou seja, tem um limite superior e/ou inferior) converge. Em outras palavras, ela vai se aproximar de um valor específico à medida que avançamos na sequência.

Passo 5

Aplicando esse teorema ao nosso caso: é uma sequência monótona e está limitada acima por 5. Portanto, pela Monotonicidade, deve convergir.

Passo 6

Sobre o limite dessa sequência, já sabemos que todos os termos são menores ou iguais a 5. Então, o limite também será menor ou igual a 5.

Resposta

Sim, a sequência converge e o seu limite é menor ou igual a 5.

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