Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(h) sumn=1^infty(-1)^n-1 n^2+1n^3

Passo 1

Ok, vamos analisar a série . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especificamente as séries alternadas. Precisamos verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série. Observe que pode ser simplificado para .

Passo 3

Agora, a série fica assim:
sumn=1^infty(-1)^n-1 ( 1n + 1n^3 )
Podemos separar essa série em duas séries:
sumn=1^infty(-1)^n-1 1n + sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^3

Passo 4

Vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 ( 1n + 1n^3 ) | = sumn=1^infty ( 1n + 1n^3 )
Essa é a soma de duas séries p, onde e . Sabemos que uma série p converge se . Então, converge, mas não converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos não converge, a série original não é absolutamente convergente. Vamos agora verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 6

Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar se:
  1. Os termos são decrescentes.
  2. .
Temos , que claramente é decrescente para e o limite quando tende ao infinito é 0.

Passo 7

Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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