Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando t a e seja c uma constante. Demonstre as seguintes propriedades de limites.
lim t a[u(t) times v(t)]=lim t a u(t) times lim t a v(t)

Passo 1

O enunciado pede para demostrar que o limite do produto vetorial de duas funções vetoriais é igual ao produto vetorial dos limites. O conteúdo é propriedade de limites em funções vetoriais, usando que cada componente satisfaz as regras de limite para soma, diferença e produto de funções escalares.

Passo 2

Sejam
L = limtto au(t), M = limtto av(t)
Como os limites existem, podemos trabalhar componente a componente.

Passo 3

Lembrando que, em coordenadas, o produto vetorial se escreve
u(t) times v(t) = l(u2(t)v3(t)-u3(t)v2(t),;u3(t)v1(t)-u1(t)v3(t),;u1(t)v2(t)-u2(t)v1(t)r)

Passo 4

Aplique a propriedade de limite para combinações de soma e produto em cada componente. Por exemplo,
limtto al(u2(t)v3(t)-u3(t)v2(t)r) =limtto au2(t),limtto av3(t) -limtto au3(t),limtto av2(t) = L2M3 - L3M2
Procedendo de forma análoga para as outras duas componentes.

Passo 5

Reagrupando as componentes obtidas, vemos que
limtto a[u(t)timesv(t)] = (L2M3 - L3M2,;L3M1 - L1M3,;L1M2 - L2M1) = L times M

Resposta

limtto a[u(t)timesv(t)] = l(limtto au(t)r) times l(limtto av(t)r).

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