Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando t a e seja c uma constante. Demonstre as seguintes propriedades de limites.
lim t a[u(t) cdot v(t)]=lim t a u(t) cdot lim t a v(t)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite do produto escalar de duas funções vetoriais é igual ao produto escalar dos limites, ou seja, demonstrar que
limtto a[ u(t)cdot v(t)] = l(limtto a u(t)r)cdotl(limtto a v(t)r)
O conteúdo principal é limite de funções vetoriais, que se define componente a componente, e as propriedades de limite de soma e produto de funções reais.

Passo 2

Para começar, escrevemos as funções vetoriais em coordenadas. Suponha que
u(t) = l(u1(t),u2(t),dots,un(t)r),
v(t) = l(v1(t),v2(t),dots,vn(t)r)
Como os limites existem quando tto a, há vetores limite
u0 = limtto a u(t) = l(limtto au1(t),dots,limtto aun(t)r),
v0 = limtto a v(t) = l(limtto av1(t),dots,limtto avn(t)r)

Passo 3

O produto escalar u(t)cdot v(t) é definido por
u(t)cdot v(t) = sumi=1^n ui(t),vi(t)
Portanto, o limite que queremos calcular é
limtto a[ u(t)cdot v(t)] = limtto asumi=1^n ui(t),vi(t)

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de limite de soma: o limite de uma soma é a soma dos limites, desde que cada limite exista. Logo,
limtto asumi=1^n ui(t),vi(t) = sumi=1^n limtto al[ui(t),vi(t)r]
Em seguida, usamos a propriedade de limite de produto: o limite do produto de funções reais é o produto dos limites, quando ambos existem. Assim,
limtto al[ui(t),vi(t)r] = l(limtto aui(t)r),l(limtto avi(t)r)

Passo 5

Substituindo este resultado na soma, obtemos
sumi=1^n l(limtto aui(t)r),l(limtto avi(t)r) = l(limtto a u(t)r)cdotl(limtto a v(t)r),
pois o produto escalar dos vetores limite u0 e v0 é exatamente a soma dos produtos das componentes correspondentes.

Passo 6

Portanto, reagrupando tudo, chegamos à igualdade desejada:
limtto a[ u(t)cdot v(t)] = l(limtto a u(t)r)cdotl(limtto a v(t)r)

Passo 7

Essa demonstração baseia‐se na definição de limite de função vetorial por componentes e nas propriedades elementares de limites de soma e produto de funções reais.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to a}[\mathbf u(t)\cdot\mathbf v(t)] = \Bigl(\lim_{t\to a}\mathbf u(t)\Bigr)\cdot\Bigl(\lim_{t\to a}\mathbf v(t)\Bigr)

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