Suponha que
e
sejam funções vetoriais que possuem limites quando
e seja
uma constante. Demonstre as seguintes propriedades de limites.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite do produto escalar de duas funções vetoriais é igual ao produto escalar dos limites, ou seja, demonstrar que
O conteúdo principal é limite de funções vetoriais, que se define componente a componente, e as propriedades de limite de soma e produto de funções reais.
Passo 2
Para começar, escrevemos as funções vetoriais em coordenadas. Suponha que
Como os limites existem quando
, há vetores limite
Passo 3
O produto escalar
é definido por
Portanto, o limite que queremos calcular é
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade de limite de soma: o limite de uma soma é a soma dos limites, desde que cada limite exista. Logo,
Em seguida, usamos a propriedade de limite de produto: o limite do produto de funções reais é o produto dos limites, quando ambos existem. Assim,
Passo 5
Substituindo este resultado na soma, obtemos
pois o produto escalar dos vetores limite
e
é exatamente a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Passo 6
Portanto, reagrupando tudo, chegamos à igualdade desejada:
Passo 7
Essa demonstração baseia‐se na definição de limite de função vetorial por componentes e nas propriedades elementares de limites de soma e produto de funções reais.
Resposta
\displaystyle \lim_{t\to a}[\mathbf u(t)\cdot\mathbf v(t)] = \Bigl(\lim_{t\to a}\mathbf u(t)\Bigr)\cdot\Bigl(\lim_{t\to a}\mathbf v(t)\Bigr)