Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
r(t)=t i+t j+cos t k

Passo 1

Neste exercício precisamos esboçar a curva em R^3 dada por
r(t) = t,i + t,j + cos t,k
ou seja, identificar seu comportamento no plano xy e no eixo z, além de indicar a direção em que t cresce.

Passo 2

Para começar, extraímos cada componente da curva:
x(t) = t,
y(t) = t,
z(t) = cos t.
Com isso, a projeção da curva no plano xy é dada por
y = x
que é uma reta de inclinação 45° passando pela origem.

Passo 3

Em seguida, no eixo z, vemos que
z(t) = cos t
é uma função oscilante entre -1 e 1 conforme t varia.

Passo 4

Para esboçar a curva em 3D, imaginamos uma “onda” senoidal apoiada sobre a reta y = x no plano xy. Conforme t aumenta, o ponto desliza para valores maiores de x e y e simultaneamente sobe e desce em z com período 2pi.
Finalmente, indicamos setas ao longo dessa “onda” apontando na direção em que x e y crescem (isto é, na direção do vetor i + j) e mostrando que o ponto sobe quando sin t < 0 muda de sinal para sin t > 0 e desce no intervalo inverso.

Resposta

A curva é uma “onda” senoidal de amplitude 1 sobre a reta de inclinação 45° no plano xy (isto é, y = x), com eixo z oscilando como cos t. As setas devem apontar ao longo da reta y=x em direção crescente de x e y, mostrando o movimento para frente enquanto o ponto subi e desce periodicamente em z.

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