Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
Neste exercício precisamos esboçar a curva em
dada por
ou seja, identificar seu comportamento no plano
Passo 2
Para começar, extraímos cada componente da curva:
,
,
.
Com isso, a projeção da curva no plano é dada por
Com isso, a projeção da curva no plano
que é uma reta de inclinação 45° passando pela origem.
Passo 3
Em seguida, no eixo
, vemos que
é uma função oscilante entre e
conforme
varia.
é uma função oscilante entre
Passo 4
Para esboçar a curva em 3D, imaginamos uma “onda” senoidal apoiada sobre a reta
no plano
. Conforme
aumenta, o ponto desliza para valores maiores de
e
e simultaneamente sobe e desce em
com período
.
Finalmente, indicamos setas ao longo dessa “onda” apontando na direção em que e
crescem (isto é, na direção do vetor
) e mostrando que o ponto sobe quando
muda de sinal para
e desce no intervalo inverso.
Finalmente, indicamos setas ao longo dessa “onda” apontando na direção em que
Resposta
A curva é uma “onda” senoidal de amplitude 1 sobre a reta de inclinação 45° no plano
(isto é,
), com eixo
oscilando como
. As setas devem apontar ao longo da reta
em direção crescente de
e
, mostrando o movimento para frente enquanto o ponto subi e desce periodicamente em
.