Suponha que usemos a pressão de vapor de equilíbrio da água como propriedade termométrica, construindo uma escala de temperatura
.
a) Quais serão as temperaturas
correspondentes às temperaturas Celsius
e
?
Abaixo estão os valores de pressão de vapor da água, em mmHg , na escala Celsius:
0
25
50
75
100
5
24
93
289
760
b) As pressões de vapor do benzeno (
) e da água (
), em termos da temperatura Celsius
, têm os seguintes valores:
7,6
26,1
60,6
80,1
40
100
400
760
8
25
154
356
Faça um gráfico da pressão de vapor do benzeno em função de
, a temperatura na escala de pressão de vapor da água (i.e., graficar
em função de
).
a) Quais serão as temperaturas
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0 | 25 | 50 | 75 | 100 |
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5 | 24 | 93 | 289 | 760 |
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7,6 | 26,1 | 60,6 | 80,1 |
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40 | 100 | 400 | 760 |
|
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8 | 25 | 154 | 356 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Construir uma escala de temperatura
usando como propriedade termométrica a pressão de vapor de equilíbrio da água e, com isso, dar os valores de correspondentes às temperaturas Celsius . O enunciado fornece a tabela com as pressões de vapor da água (em mmHg) nessas temperaturas. - (b) Usando a segunda tabela (que dá simultaneamente
e em certas temperaturas Celsius), fazer um gráfico de em função de , onde é a escala baseada na pressão de vapor da água — isto é, graficar em função de .
Informações relevantes dadas (peguei estes números das tabelas do enunciado): - Para
, as pressões de vapor da água são, respectivamente, (em mmHg). - Da segunda tabela, para cada
temos pares : - em
: mmHg e mmHg; - em
: mmHg e mmHg; - em
: mmHg e mmHg; - em
: mmHg e mmHg.
- em
Passo 2
Entendendo como usar a pressão de vapor como termômetro (explicação didática e escolha prática).
- Ideia física: uma propriedade termométrica é uma grandeza monotonicamente crescente (ou decrescente) com a temperatura; a pressão de vapor da água
aumenta com a temperatura, então serve para definir uma escala de temperatura. - Calibração: ao definir uma nova escala
baseada em uma propriedade (aqui ), há várias escolhas possíveis: pode-se definir proporcional a (por exemplo ) ou pode-se tomar simplesmente (usar a própria pressão, com unidades mmHg, como leitura da escala). O enunciado não impõe uma transformação linear entre e , pede apenas “usar a pressão de vapor como propriedade termométrica”. A escolha mais direta e conveniente (e a esperada aqui) é identificar a leitura na nova escala com o valor da pressão em mmHg, isto é:
- Motivação prática dessa escolha: facilita o item (b), que pede justamente graficar
em função de . Assim o eixo é numericamente o eixo .
Passo 3
Aplicando a escolha
para responder (a). Basta substituir cada pressão dada pela água como o valor de
. Usando a tabela que o enunciado forneceu (peguei os valores desta tabela):
- Para
temos mmHg, logo . - Para
temos mmHg, logo . - Para
temos mmHg, logo . - Para
temos mmHg, logo . - Para
temos mmHg, logo .
(Observação didática rápida: se preferisse transformar linearmente para que, por exemplo,
correspondesse a
e
a
, seria necessário ajustar por uma relação linear
; aqui não foi pedido, então mantemos a identificação direta.)
Passo 4
Preparando o gráfico pedido em (b): transformar a tabela dada em pares
. Peguei os valores de
e
da segunda tabela do enunciado e, usando
, construo os pontos a plotar:
- em
: mmHg e mmHg → ponto ; - em
: mmHg e mmHg → ponto ; - em
: mmHg e mmHg → ponto ; - em
: mmHg e mmHg → ponto .
Passo 5
Instruções passo a passo para desenhar o gráfico (como fazer na prova ou à mão, sem calculadora):
- Escolher e desenhar eixos: eixo horizontal (abscissas) =
= em mmHg; eixo vertical (ordenadas) = em mmHg. - Ajustar escalas: dado que
vai até mmHg nos pontos da tabela (e que na primeira tabela a água atinge mmHg a ), uma boa escolha prática é fazer o eixo de a mmHg (ou até se quiser cobrir todo o intervalo), com marcas a cada ou mmHg; para o eixo tomar a mmHg com marcas a cada mmHg. Essa escolha mantêm os números redondos e facilita o traço à mão. - Marcar e plotar cada ponto:
- Marcar
: bem perto da origem, x=8 pequeno, y=40 pequeno. - Marcar
: x=25, y=100. - Marcar
: x=154, y=400. - Marcar
: x=356, y=760 (este fica no canto superior direito do retângulo sugerido).
- Marcar
- Ligar os pontos com uma curva suave crescente (não necessariamente reta). Observação: os pontos mostram que
cresce com , mas a relação é não linear (crescimento acelerado); por isso trace uma curva que passe pelos pontos, mais íngreme conforme aumenta. - Etiquetar os eixos: escrever no eixo
“ (mmHg)” e no eixo “ (mmHg)”. Colocar uma legenda ou anotar os pontos se quiser maior clareza. - Se for necessário um valor intermediário, pode-se interpolar visualmente no gráfico entre os pontos; para interpolação numérica mais precisa seria conveniente ajustar uma função (por exemplo exponencial ou polinomial) por regressão, mas isso já é além do pedido.
Passo 6
Interpretação breve (ajuda para a prova):
- O gráfico pedido é simplesmente a curva que relaciona a pressão de vapor do benzeno com a pressão de vapor da água medida à mesma temperatura — em outras palavras, mostra como o vapor do benzeno se comporta quando você usa a pressão de vapor da água como “termômetro”.
- Não há contradição na escolha
: escalas termométricas podem ser definidas por qualquer propriedade monótona; aqui usamos a forma mais direta. - Dica prática: quando tiver que fazer esse tipo de gráfico em prova sem software, organize primeiro uma tabela de pares
como fiz acima e escolha escalas com marcas arredondadas.
Resposta
a)
b) Pontos a plotar (eixo horizontal
, eixo vertical
):