Suponha que usemos a pressão de vapor de equilíbrio da água como propriedade termométrica, construindo uma escala de temperatura t^{\prime}.
a) Quais serão as temperaturas t^{\prime} correspondentes às temperaturas Celsius t=0^{\circ} \mathrm{C}, 25^{\circ} \mathrm{C}, 50^{\circ} \mathrm{C}, 75^{\circ} \mathrm{C} e 100^{\circ} \mathrm{C} ?
Abaixo estão os valores de pressão de vapor da água, em mmHg , na escala Celsius:
t / 0 25 50 75 100
p\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right) / \mathrm{mmHg} 5 24 93 289 760
b) As pressões de vapor do benzeno ( \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6} ) e da água ( \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} ), em termos da temperatura Celsius t, têm os seguintes valores:
t / 7,6 26,1 60,6 80,1
p\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}\right) / \mathrm{mmHg} 40 100 400 760
p\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right) / \mathrm{mmHg} 8 25 154 356
Faça um gráfico da pressão de vapor do benzeno em função de t^{\prime}, a temperatura na escala de pressão de vapor da água (i.e., graficar p\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}\right) em função de p\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right) ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Construir uma escala de temperatura t' usando como propriedade termométrica a pressão de vapor de equilíbrio da água e, com isso, dar os valores de t' correspondentes às temperaturas Celsius t=0^\circ\mathrm{C},\;25^\circ\mathrm{C},\;50^\circ\mathrm{C},\;75^\circ\mathrm{C},\;100^\circ\mathrm{C}. O enunciado fornece a tabela com as pressões de vapor da água (em mmHg) nessas temperaturas.
  • (b) Usando a segunda tabela (que dá simultaneamente p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6) e p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) em certas temperaturas Celsius), fazer um gráfico de p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6) em função de t', onde t' é a escala baseada na pressão de vapor da água — isto é, graficar p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6) em função de p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}).
    Informações relevantes dadas (peguei estes números das tabelas do enunciado):
  • Para t=0^\circ\mathrm{C},\;25^\circ\mathrm{C},\;50^\circ\mathrm{C},\;75^\circ\mathrm{C},\;100^\circ\mathrm{C}, as pressões de vapor da água são, respectivamente, 5,\;24,\;93,\;289,\;760 (em mmHg).
  • Da segunda tabela, para cada t temos pares \big(p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}),\;p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6)\big):
    • em t=7{,}6^\circ\mathrm{C}: p(\mathrm{H}_2\mathrm{O})=8 mmHg e p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6)=40 mmHg;
    • em t=26{,}1^\circ\mathrm{C}: p(\mathrm{H}_2\mathrm{O})=25 mmHg e p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6)=100 mmHg;
    • em t=60{,}6^\circ\mathrm{C}: p(\mathrm{H}_2\mathrm{O})=154 mmHg e p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6)=400 mmHg;
    • em t=80{,}1^\circ\mathrm{C}: p(\mathrm{H}_2\mathrm{O})=356 mmHg e p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6)=760 mmHg.

Passo 2

Entendendo como usar a pressão de vapor como termômetro (explicação didática e escolha prática).
  • Ideia física: uma propriedade termométrica é uma grandeza monotonicamente crescente (ou decrescente) com a temperatura; a pressão de vapor da água p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) aumenta com a temperatura, então serve para definir uma escala de temperatura.
  • Calibração: ao definir uma nova escala t' baseada em uma propriedade X (aqui X=p(\mathrm{H}_2\mathrm{O})), há várias escolhas possíveis: pode-se definir t' proporcional a X (por exemplo t'=a\,X+b) ou pode-se tomar simplesmente t'=X (usar a própria pressão, com unidades mmHg, como leitura da escala). O enunciado não impõe uma transformação linear entre p e t', pede apenas “usar a pressão de vapor como propriedade termométrica”. A escolha mais direta e conveniente (e a esperada aqui) é identificar a leitura na nova escala t' com o valor da pressão em mmHg, isto é:
t' \equiv p(\mathrm{H}_2\mathrm{O})\\ \text{(em mmHg)}.
  • Motivação prática dessa escolha: facilita o item (b), que pede justamente graficar p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6) em função de p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}). Assim o eixo t' é numericamente o eixo p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}).

Passo 3

Aplicando a escolha t' = p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) para responder (a). Basta substituir cada pressão dada pela água como o valor de t'. Usando a tabela que o enunciado forneceu (peguei os valores desta tabela):
  • Para t=0^\circ\mathrm{C} temos p(\mathrm{H}_2\mathrm{O})=5 mmHg, logo t'=5.
  • Para t=25^\circ\mathrm{C} temos p(\mathrm{H}_2\mathrm{O})=24 mmHg, logo t'=24.
  • Para t=50^\circ\mathrm{C} temos p(\mathrm{H}_2\mathrm{O})=93 mmHg, logo t'=93.
  • Para t=75^\circ\mathrm{C} temos p(\mathrm{H}_2\mathrm{O})=289 mmHg, logo t'=289.
  • Para t=100^\circ\mathrm{C} temos p(\mathrm{H}_2\mathrm{O})=760 mmHg, logo t'=760.
(Observação didática rápida: se preferisse transformar linearmente para que, por exemplo, t'=0 correspondesse a 0^\circ\mathrm{C} e t'=100 a 100^\circ\mathrm{C}, seria necessário ajustar por uma relação linear t'=a\,p+b; aqui não foi pedido, então mantemos a identificação direta.)

Passo 4

Preparando o gráfico pedido em (b): transformar a tabela dada em pares \big(t',\;p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6)\big). Peguei os valores de p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) e p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6) da segunda tabela do enunciado e, usando t'=p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}), construo os pontos a plotar:
  • em t=7{,}6^\circ\mathrm{C}: t'=8 mmHg e p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6)=40 mmHg → ponto \big(8,\;40\big);
  • em t=26{,}1^\circ\mathrm{C}: t'=25 mmHg e p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6)=100 mmHg → ponto \big(25,\;100\big);
  • em t=60{,}6^\circ\mathrm{C}: t'=154 mmHg e p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6)=400 mmHg → ponto \big(154,\;400\big);
  • em t=80{,}1^\circ\mathrm{C}: t'=356 mmHg e p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6)=760 mmHg → ponto \big(356,\;760\big).

Passo 5

Instruções passo a passo para desenhar o gráfico (como fazer na prova ou à mão, sem calculadora):
  1. Escolher e desenhar eixos: eixo horizontal (abscissas) = t' = p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) em mmHg; eixo vertical (ordenadas) = p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6) em mmHg.
  2. Ajustar escalas: dado que t' vai até \,356 mmHg nos pontos da tabela (e que na primeira tabela a água atinge \,760 mmHg a 100^\circ\mathrm{C}), uma boa escolha prática é fazer o eixo x de 0 a 400 mmHg (ou até 800 se quiser cobrir todo o intervalo), com marcas a cada 50 ou 100 mmHg; para o eixo y tomar 0 a 800 mmHg com marcas a cada 100 mmHg. Essa escolha mantêm os números redondos e facilita o traço à mão.
  3. Marcar e plotar cada ponto:
    • Marcar \big(8,\;40\big): bem perto da origem, x=8 pequeno, y=40 pequeno.
    • Marcar \big(25,\;100\big): x=25, y=100.
    • Marcar \big(154,\;400\big): x=154, y=400.
    • Marcar \big(356,\;760\big): x=356, y=760 (este fica no canto superior direito do retângulo sugerido).
  4. Ligar os pontos com uma curva suave crescente (não necessariamente reta). Observação: os pontos mostram que p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6) cresce com p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}), mas a relação é não linear (crescimento acelerado); por isso trace uma curva que passe pelos pontos, mais íngreme conforme t' aumenta.
  5. Etiquetar os eixos: escrever no eixo x t' = p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) (mmHg)” e no eixo y p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6) (mmHg)”. Colocar uma legenda ou anotar os pontos se quiser maior clareza.
  6. Se for necessário um valor intermediário, pode-se interpolar visualmente no gráfico entre os pontos; para interpolação numérica mais precisa seria conveniente ajustar uma função (por exemplo exponencial ou polinomial) por regressão, mas isso já é além do pedido.

Passo 6

Interpretação breve (ajuda para a prova):
  • O gráfico pedido é simplesmente a curva que relaciona a pressão de vapor do benzeno com a pressão de vapor da água medida à mesma temperatura — em outras palavras, mostra como o vapor do benzeno se comporta quando você usa a pressão de vapor da água como “termômetro”.
  • Não há contradição na escolha t'=p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}): escalas termométricas podem ser definidas por qualquer propriedade monótona; aqui usamos a forma mais direta.
  • Dica prática: quando tiver que fazer esse tipo de gráfico em prova sem software, organize primeiro uma tabela de pares (x,y) como fiz acima e escolha escalas com marcas arredondadas.

Resposta

a) t'(0^\circ\mathrm{C})=5\\ \text{mmHg},\;t'(25^\circ\mathrm{C})=24\\ \text{mmHg},\;t'(50^\circ\mathrm{C})=93\\ \text{mmHg},\;t'(75^\circ\mathrm{C})=289\\ \text{mmHg},\;t'(100^\circ\mathrm{C})=760\\ \text{mmHg}
b) Pontos a plotar (eixo horizontal t'=p(\mathrm{H}_2\mathrm{O}), eixo vertical p(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6)): \big(8,\;40\big),\;\big(25,\;100\big),\;\big(154,\;400\big),\;\big(356,\;760\big)

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