Suponha que o valor y foi investido numa conta de poupança na qual os juros são continuamente capitalizados numa taxa constante de 6.5 % ao ano. A equação diferencial y^prime=k y descreve a taxa de crescimento do montante investido, onde k é a taxa de juros. Se R$ foram inicialmente investidos, qual é o montante após 4 anos?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o montante após 4 anos de uma aplicação inicial de R$ 5.000,00 numa conta com juros capitalizados continuamente à taxa de 6,5% ao ano. O conteúdo é crescimento exponencial modelado pela EDO 5.000,00 numa conta com juros capitalizados continuamente à taxa de 6,5% ao ano O conteúdo é crescimento exponencial modelado pela EDO , e vamos precisar da solução geral dessa EDO e de aplicar a condição inicial.

Passo 2

Para resolver a EDO y'=k,y, usamos separação de variáveis. Integramos dyy=k,dt e obtemos a solução geral y(t)=C,e^k,t, onde C é a constante de integração.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=5000. Assim, y(0)=C,e^kcdot0=C=5000. Logo a solução particular é y(t)=5000,e^k,t, com k=0,065.

Passo 4

Calculamos o montante após 4 anos: temos y(4)=5000,e^0,065cdot4=5000,e^0,26 Avaliando numericamente e^0,26approx1,29693, resulta em y(4)approx5000times1,29693approx6484,65.

Resposta

R$ 6.484,65

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