Suponha que o valor
foi investido numa conta de poupança na qual os juros são continuamente capitalizados numa taxa constante de
ao ano. A equação diferencial
descreve a taxa de crescimento do montante investido, onde
é a taxa de juros. Se R$
foram inicialmente investidos, qual é o montante após 4 anos?
Passo 1
O enunciado pede para calcular o montante após 4 anos de uma aplicação inicial de R$ 5.000,00 numa conta com juros capitalizados continuamente à taxa de 6,5% ao ano. O conteúdo é crescimento exponencial modelado pela EDO
, e vamos precisar da solução geral dessa EDO e de aplicar a condição inicial.
Passo 2
Para resolver a EDO
, usamos separação de variáveis. Integramos
e obtemos a solução geral
, onde
é a constante de integração.
Passo 3
Aplicamos a condição inicial
. Assim,
. Logo a solução particular é
, com
.
Passo 4
Calculamos o montante após 4 anos: temos
Avaliando numericamente
, resulta em
.
Resposta
R$ 6.484,65