Suponha que as variáveis aleatórias X, Y e Z tenham uma função densidade de probabilidade conjunta f(x, y, z)=8 x y z para 0 0. Determine o seguinte:
a) P(X<0,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três variáveis aleatórias $ X, Y $ e $ Z $ com uma função de densidade de probabilidade conjunta $ f(x, y, z) = 8xyz $ para $ 0 < x < 1 $, $ 0 < y < 1 $ e $ 0 < z < 1 $. O que precisamos encontrar é a probabilidade de que $ X $ seja menor que 0,5, ou seja, $ \mathrm{P}(X < 0,5) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua e integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ \mathrm{P}(X < 0,5) $. Em termos de probabilidade contínua, isso significa que precisamos calcular a integral da função de densidade conjunta $ f(x, y, z) $ sobre todos os valores de $ y $ e $ z $ enquanto $ x $ varia de 0 a 0,5. Basicamente, estamos somando todas as probabilidades onde $ X $ está nessa faixa.

Passo 3

Vamos escrever a expressão matemática para $ \mathrm{P}(X < 0,5) $:
P(X < 0,5)
Aqui, estamos integrando $ f(x, y, z) = 8xyz $ primeiro em relação a $ z $ de 0 a 1, depois em relação a $ y $ de 0 a 1, e finalmente em relação a $ x $ de 0 a 0,5.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, aquela em relação a $ z $:
z
Agora, substituímos esse resultado na integral de $ y $:
integral0^1 8xyz , dz = 8xy integral0^1 z , dz = 8xy [ z^22 ]0^1 = 8xy ( 12 - 0 ) = 4xy

Passo 5

Por fim, integramos em relação a $ x $:
x

Resposta

A probabilidade $ \mathrm{P}(X < 0,5) $ é igual a 0,25.

Exercícios relacionados