Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham uma função densidade de probabilidade conjunta
para
. Determine o seguinte:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá três variáveis aleatórias $ X, Y $ e $ Z $ com uma função de densidade de probabilidade conjunta $ f(x, y, z) = 8xyz $ para $ 0 < x < 1 $, $ 0 < y < 1 $ e $ 0 < z < 1 $. O que precisamos encontrar é a probabilidade de que $ X $ seja menor que 0,5, ou seja, $ \mathrm{P}(X < 0,5) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua e integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \mathrm{P}(X < 0,5) $. Em termos de probabilidade contínua, isso significa que precisamos calcular a integral da função de densidade conjunta $ f(x, y, z) $ sobre todos os valores de $ y $ e $ z $ enquanto $ x $ varia de 0 a 0,5. Basicamente, estamos somando todas as probabilidades onde $ X $ está nessa faixa.
Passo 3
Vamos escrever a expressão matemática para $ \mathrm{P}(X < 0,5) $:
Aqui, estamos integrando $ f(x, y, z) = 8xyz $ primeiro em relação a $ z $ de 0 a 1, depois em relação a $ y $ de 0 a 1, e finalmente em relação a $ x $ de 0 a 0,5.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, aquela em relação a $ z $:
Agora, substituímos esse resultado na integral de $ y $:
Passo 5
Por fim, integramos em relação a $ x $:
Resposta
A probabilidade $ \mathrm{P}(X < 0,5) $ é igual a 0,25.