Suponha que
seja uma variável aleatória binomial, com
e
.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado diz que temos uma variável aleatória binomial $ X $ com $ n = 200 $ tentativas e probabilidade de sucesso $ p = 0,4 $ em cada tentativa. A gente precisa encontrar a probabilidade de $ X $ ser no máximo 70, ou seja, $ P(X \leq 70) $. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial e, como o número de tentativas é grande, vamos também considerar uma aproximação normal para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição binomial. É usada quando temos um número fixo de tentativas independentes ($ n $), cada uma com duas possibilidades de resultado: sucesso ou fracasso. A probabilidade de sucesso em cada tentativa é $ p $, e a variável aleatória $ X $ conta quantos sucessos ocorrem nas $ n $ tentativas.
Passo 3
Para calcular $ P(X \leq 70) $ diretamente usando a fórmula da binomial, seria bem trabalhoso devido ao grande valor de $ n = 200 $. Por isso, vamos usar uma aproximação normal. A distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal quando $ n $ é grande e $ p $ não é muito próximo de 0 ou 1. A média ($ \mu
\sigma $) da distribuição binomial são dados por:
Passo 4
Agora, vamos padronizar o valor $ X = 70 $ usando a fórmula do escore z:
Usamos o valor $ X = 70 $ diretamente, mas para uma melhor aproximação com a distribuição normal, aplicamos a correção de continuidade, adicionando 0,5:
Passo 5
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a $ z = -1,31 $. Essa probabilidade é aproximadamente 0,0951, ou 9,51%.
Resposta
A probabilidade de $ X \leq 70 $ é aproximadamente $ 9,5% $.