Determine a covariância e a correlação para a seguinte distribuição de probabilidades conjuntas:
|
1 | 1 | 2 | 4 |
---|---|---|---|---|
|
3 | 4 | 5 | 6 |
|
|
|
|
|
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra a distribuição de probabilidades conjuntas de duas variáveis, $ x $ e $ y $. Nosso objetivo é calcular a covariância e a correlação entre $ x $ e $ y $.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de estatística, como valor esperado ($ E(X) $, $ E(Y)
E(XY) $), variância e desvio padrão. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado de $ x $, que é basicamente a média ponderada dos valores de $ x $ considerando suas probabilidades.
A fórmula para o valor esperado de $ x $ é:
Onde $ P(x) $ é a probabilidade de cada valor de $ x $.
Vamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado de $ y $.
A fórmula é semelhante:
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto esperado $ E(XY) $, que é a média ponderada dos produtos de $ x $ e $ y $ com suas probabilidades conjuntas.
A fórmula é:
Vamos calcular cada termo:
Passo 5
Com os valores de $ E(X) $, $ E(Y) $ e $ E(XY) $, podemos calcular a covariância entre $ x $ e $ y $.
A fórmula da covariância é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Para calcular a correlação, precisamos dos desvios padrões de $ x $ e $ y $. Primeiro, vamos calcular a variância de cada um.
A fórmula da variância é:
Vamos calcular $ E(X^2) $ e $ E(Y^2) $ primeiro.
Para $ x $:
Para $ y $:
Agora, os desvios padrões são:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a correlação entre $ x $ e $ y $.
A fórmula da correlação é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A covariância entre $ x $ e $ y $ é aproximadamente 2,23 e a correlação entre $ x $ e $ y $ é aproximadamente 0,865.