Determine a covariância e a correlação para a seguinte distribuição de probabilidades conjuntas:
x 1 1 2 4
y 3 4 5 6
fx y(x, y) 18 14 14 18

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra a distribuição de probabilidades conjuntas de duas variáveis, $ x $ e $ y $. Nosso objetivo é calcular a covariância e a correlação entre $ x $ e $ y $.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de estatística, como valor esperado ($ E(X) $, $ E(Y) x E(XY) $), variância e desvio padrão. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado de $ x $, que é basicamente a média ponderada dos valores de $ x $ considerando suas probabilidades.
A fórmula para o valor esperado de $ x $ é:
x
Onde $ P(x) $ é a probabilidade de cada valor de $ x $.
Vamos calcular:
x
x
E(X) = sum x cdot P(x)
P(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de $ y $.
A fórmula é semelhante:
y
Vamos calcular:
E(Y) = sum y cdot P(y)
E(Y) = 3 cdot 18 + 4 cdot 14 + 5 cdot 14 + 6 cdot 18
E(Y) = 38 + 44 + 54 + 68
E(Y) = 38 + 1 + 1,25 + 68

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto esperado $ E(XY) $, que é a média ponderada dos produtos de $ x $ e $ y $ com suas probabilidades conjuntas.
A fórmula é:
E(XY)
Vamos calcular cada termo:
x
y
E(XY) = sum x cdot y cdot P(x,y)
E(XY) = 1 cdot 3 cdot 18 + 1 cdot 4 cdot 14 + 2 cdot 5 cdot 14 + 4 cdot 6 cdot 18

Passo 5

Com os valores de $ E(X) $, $ E(Y) $ e $ E(XY) $, podemos calcular a covariância entre $ x $ e $ y $.
A fórmula da covariância é:
E(X)
Substituindo os valores:
E(Y)
E(XY)

Passo 6

Para calcular a correlação, precisamos dos desvios padrões de $ x $ e $ y $. Primeiro, vamos calcular a variância de cada um.
A fórmula da variância é:
x
y
Vamos calcular $ E(X^2) $ e $ E(Y^2) $ primeiro.
Para $ x $:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2
E(X^2)
E(Y^2)
x
Para $ y $:
E(X^2) = sum x^2 cdot P(x)
E(X^2) = 1^2 cdot 38 + 2^2 cdot 14 + 4^2 cdot 18
E(X^2) = 38 + 44 + 168
E(X^2) = 38 + 1 + 2 = 3 + 8 + 168 = 278 = 3,375
Var(X) = 3,375 - (1,375)^2 = 3,375 - 1,890625 = 1,484375
y
Agora, os desvios padrões são:
E(Y^2) = sum y^2 cdot P(y)
E(Y^2) = 3^2 cdot 18 + 4^2 cdot 14 + 5^2 cdot 14 + 6^2 cdot 18

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a correlação entre $ x $ e $ y $.
A fórmula da correlação é:
x
Substituindo os valores que encontramos:
y

Resposta

A covariância entre $ x $ e $ y $ é aproximadamente 2,23 e a correlação entre $ x $ e $ y $ é aproximadamente 0,865.

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