Suponha que uma variável aleatória X siga uma distribuição exponencial com parâmetro \lambda=1: X \sim \exp (1). Seja então a variável aleatória Y(X)=e-X. Determine o contradomínio e a função densidade de probabilidade de Y. Qual o nome dessa distribuição?
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória X segue uma distribuição exponencial com parâmetro \lambda=1: X\sim\exp(1). Define-se a nova variável Y por
Y(X)=e-X.
As perguntas são:
Qual o contradomínio (suporte) de Y?
Qual é a função densidade de probabilidade (pdf) de Y?
Qual o nome dessa distribuição (ou como chamamos essa distribuição)?
Informações relevantes dadas:
Para X\sim\exp(1) temos que o suporte de X é [0,\infty) e a pdf de X é
f_X(x)=e^{-x},\qquad x\ge 0,
e f_X(x)=0 para x<0.
A transformação é Y=e-X, que é uma função linear e monotonicamente decrescente de X.
Passo 2
Vamos entender o contradomínio (suporte) de Y a partir do suporte de X.
Se x\in[0,\infty), então
y=e-x \in (-\infty,e].
Portanto o contradomínio de Y é (-\infty,e]. Isso vem diretamente de substituir os extremos: para x=0 obtemos y=e; quando x\to\infty temos y\to -\infty.
Passo 3
Vou obter a distribuição de Y usando o método das funções de distribuição (CDF), que é bem direto e estático (não depende do sinal da derivada). Primeiro escrevo a CDF de Y:
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(e-X\le y).
Agora reescrevo o evento em termos de X:
e-X\le y \Longleftrightarrow X\ge e-y.
Como X é contínua, podemos usar P(X\ge t)=1-P(X<t)=1-F_X(t). Assim, quando e-y\ge 0 (ou seja, y\le e),
F_Y(y)=P(X\ge e-y)=1-F_X(e-y).
Passo 4
Substituo a CDF de X\). Lembro que, para \(X\sim\exp(1)\),
\[F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 1-e^{-x}, & x\ge 0. \end{cases}
Para y\le e\] temos \(e-y\ge0, então
F_Y(y)=1-\bigl(1-e^{-(e-y)}\bigr)=e^{-(e-y)}=e^{-e+y}=e^{-e}e^{y},\qquad y\le e.
Para y>e temos P(Y\le y)=1 (pois Y\le e sempre), e para y\to -\infty a CDF tende a 0. Logo
Interpretação e nome da distribuição: se escrevemos Y=e-X, então Y=e+Z com Z=-X. Como X\sim\exp(1), a variável Z=-X tem pdf f_Z(z)=e^{z} para z\le 0 (é a exponencial “invertida” com suporte (-\infty,0]). Assim Y é essa exponencial invertida transladada para a direita por e. Em termos usuais, podemos chamar Y de “exponencial refletida e transladada” ou simplesmente "exponencial à esquerda (parâmetro 1) deslocada por e". Em notação simples: Y tem densidade proporcional a e^{y} no semi-infinito (-\infty,e].