Questão 3 - Determine a constante c de modo que a seguinte função seja uma função de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} c x-0,1, \quad x=1,2,3 \\\\ 0, \quad \text { caso contrário } \end{array}\right.
( \mathrm{c}=0,217 )
Passo 1
O enunciado pede para determinar a constante c\) de modo que a função
\[f(x)=\begin{cases} c x-0,1, & x=1,2,3,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário} \end{cases}
seja uma função de probabilidade. Informações úteis dadas pelo enunciado:
A função só toma valores possivelmente não nulos em x=1,2,3\].
- Para cada um desses \(x temos f(x)=c x-0,1.
- Devemos encontrar o valor numérico de c.]
Passo 2
O que significa ser “função de probabilidade” (para uma variável discreta como aqui)?
Primeiro requisito: cada valor da função deve ser não negativo. Ou seja, para todo x no suporte devemos ter f(x)\ge 0.
Segundo requisito (fundamental): a soma de todas as probabilidades deve ser 1. Como a função só é possivelmente diferente de zero para x=1,2,3, temos
\sum_{x=1}^{3} f(x)=1.
Esses dois requisitos garantem que a função é uma distribuição de probabilidade discreta. Para encontrar c vamos usar a condição da soma igual a 1 e, depois, verificamos a não negatividade.
Passo 3
Usando a condição \sum_{x=1}^{3} f(x)=1 montamos a equação:
\sum_{x=1}^{3} (c x-0,1)=1.
Desenvolvendo a soma temos
(c\cdot 1-0,1)+(c\cdot 2-0,1)+(c\cdot 3-0,1)=1.
Agrupando os termos semelhantes (os termos com c e os constantes) obtemos
c(1+2+3)-3\cdot 0,1 = 1.
Passo 4
Calcule os somatórios numéricos:
1+2+3=6,\qquad 3\cdot 0,1=0,3.
Substituindo na equação do passo anterior:
6c-0,3=1.
Isolando c:
6c = 1+0,3 = 1,3,
c = \frac{1,3}{6} = \frac{13}{60}.
Em decimal periódico isso é c=0,216\overline{6}, que arredondado com três casas decimais fica c\approx 0,217.
Passo 5
Agora verificamos a não negatividade e a soma com o c encontrado.