Questão 3 - Determine a constante c de modo que a seguinte função seja uma função de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} c x-0,1, \quad x=1,2,3 \\\\ 0, \quad \text { caso contrário } \end{array}\right.á
( \mathrm{c}=0,217 )

Passo 1

O enunciado pede para determinar a constante c\) de modo que a função \[f(x)=\begin{cases} c x-0,1, & x=1,2,3,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário} \end{cases}
seja uma função de probabilidade. Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • A função só toma valores possivelmente não nulos em x=1,2,3\]. - Para cada um desses \(x temos f(x)=c x-0,1.
    - Devemos encontrar o valor numérico de c.]

Passo 2

O que significa ser “função de probabilidade” (para uma variável discreta como aqui)?
  • Primeiro requisito: cada valor da função deve ser não negativo. Ou seja, para todo x no suporte devemos ter f(x)\ge 0.
\text{Isto significa: } \; c x-0,1 \ge 0 \quad\text{para } x=1,2,3.
  • Segundo requisito (fundamental): a soma de todas as probabilidades deve ser 1. Como a função só é possivelmente diferente de zero para x=1,2,3, temos
\sum_{x=1}^{3} f(x)=1.
Esses dois requisitos garantem que a função é uma distribuição de probabilidade discreta. Para encontrar c vamos usar a condição da soma igual a 1 e, depois, verificamos a não negatividade.

Passo 3

Usando a condição \sum_{x=1}^{3} f(x)=1 montamos a equação:
\sum_{x=1}^{3} (c x-0,1)=1.
Desenvolvendo a soma temos
(c\cdot 1-0,1)+(c\cdot 2-0,1)+(c\cdot 3-0,1)=1.
Agrupando os termos semelhantes (os termos com c e os constantes) obtemos
c(1+2+3)-3\cdot 0,1 = 1.

Passo 4

Calcule os somatórios numéricos:
1+2+3=6,\qquad 3\cdot 0,1=0,3.
Substituindo na equação do passo anterior:
6c-0,3=1.
Isolando c:
6c = 1+0,3 = 1,3,
c = \frac{1,3}{6} = \frac{13}{60}.
Em decimal periódico isso é c=0,216\overline{6}, que arredondado com três casas decimais fica c\approx 0,217.

Passo 5

Agora verificamos a não negatividade e a soma com o c encontrado.
Calcule f(1),f(2),f(3) usando c=\dfrac{13}{60}.
  • Para x=1:
f(1)=c\cdot 1-0,1=\frac{13}{60}-0,1=\frac{13}{60}-\frac{6}{60}=\frac{7}{60}\approx 0,116\overline{6}\ge 0.
  • Para x=2:
f(2)=c\cdot 2-0,1=\frac{26}{60}-\frac{6}{60}=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\approx 0,333\overline{3}\ge 0.
  • Para x=3:
f(3)=c\cdot 3-0,1=\frac{39}{60}-\frac{6}{60}=\frac{33}{60}=\frac{11}{20}=0,55\ge 0.
Somando:
f(1)+f(2)+f(3)=\frac{7+20+33}{60}=\frac{60}{60}=1.
Portanto com c=\dfrac{13}{60} as probabilidades são não negativas e somam 1, como exigido.

Resposta

c=\dfrac{13}{60}\approx 0,217

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