Suponha que as vazões médias naturais anuais de um rio sejam normalmente distribuídas e que a média das mesmas é de
e o desvio padrão é igual a
. Calcule:
As vazões médias anuais associadas a um tempo de retorno de 80 anos; (R:
;
)
As vazões médias anuais associadas a um tempo de retorno de 80 anos; (R:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: as vazões médias anuais de um rio seguem uma distribuição normal com média μ = 100 m³/s e desvio padrão σ = 40 m³/s. A pergunta é: quais são as vazões que têm tempo de retorno de 80 anos? Isto é, tanto a vazão alta (que acontece em média uma vez a cada 80 anos) quanto a vazão baixa (que também tem “tempo de retorno” de 80 anos, mas do lado de valores pequenos).
Conteúdo: distribuição normal e quantis (inverso da normal). Vamos usar a relação entre tempo de retorno T e probabilidade de não ultrapassagem p (ou de ultrapassagem).
Conteúdo: distribuição normal e quantis (inverso da normal). Vamos usar a relação entre tempo de retorno T e probabilidade de não ultrapassagem p (ou de ultrapassagem).
Passo 2
Primeiro, entenda a relação tempo de retorno ↔ probabilidade:
- Para a vazão alta com T = 80 anos, a chance de ultrapassar q (isto é, Q > q) em qualquer ano é 1/T = 1/80.
Logo, a probabilidade de não ultrapassar (Q ≤ q) é
- Para a vazão baixa com T = 80 anos, a ideia é o evento “Q < q” ocorrer 1 vez em 80, ou seja,
Passo 3
Como a vazão é normal, usamos o quantil da normal padrão. Chamando Z a N(0,1):
- Queremos
tal que . - E
tal que .
Pelotas de tabela ou função inversa dão aproximadamente:
Passo 4
Agora, a fórmula do quantil da normal não padronizada (μ,σ) é
-
Para a vazão alta:
-
Para a vazão baixa:
Resposta
Vazão com T = 80 anos (alta): 189,6 m³/s
Vazão com T = 80 anos (baixa): 10,4 m³/s
Vazão com T = 80 anos (baixa): 10,4 m³/s