Suponha que as vazões médias naturais anuais de um rio sejam normalmente distribuídas e que a média das mesmas é de 100 m^3 / s e o desvio padrão é igual a 40 m^3 / s. Calcule:
As vazões médias anuais associadas a um tempo de retorno de 80 anos; (R: 189.6 m^3 / s; 10.4 m^3 / s )

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: as vazões médias anuais de um rio seguem uma distribuição normal com média μ = 100 m³/s e desvio padrão σ = 40 m³/s. A pergunta é: quais são as vazões que têm tempo de retorno de 80 anos? Isto é, tanto a vazão alta (que acontece em média uma vez a cada 80 anos) quanto a vazão baixa (que também tem “tempo de retorno” de 80 anos, mas do lado de valores pequenos).
Conteúdo: distribuição normal e quantis (inverso da normal). Vamos usar a relação entre tempo de retorno T e probabilidade de não ultrapassagem p (ou de ultrapassagem).

Passo 2

Primeiro, entenda a relação tempo de retorno ↔ probabilidade:
  • Para a vazão alta com T = 80 anos, a chance de ultrapassar q (isto é, Q > q) em qualquer ano é 1/T = 1/80.
    Logo, a probabilidade de não ultrapassar (Q ≤ q) é prm a
    - Para a vazão baixa com T = 80 anos, a ideia é o evento “Q < q” ocorrer 1 vez em 80, ou seja,
    prm baixo = P(Q <= q) = 1T = 180 = 0,0125

Passo 3

Como a vazão é normal, usamos o quantil da normal padrão. Chamando Z a N(0,1):
  • Queremos z0,9875approx +2,2414, z0,0125approx -2,2414 tal que .
  • E tal que .
Pelotas de tabela ou função inversa dão aproximadamente:

Passo 4

Agora, a fórmula do quantil da normal não padronizada (μ,σ) é
q = mu + z,sigma
  • Para a vazão alta:
    qrm a
  • Para a vazão baixa:
    qrm baixo = 100 + (-2,2414)times 40 approx 100 - 89,66 = 10,34;m^3/s

Resposta

Vazão com T = 80 anos (alta): 189,6 m³/s
Vazão com T = 80 anos (baixa): 10,4 m³/s

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