O que se pede: provar que \vec{T}(t) e \dfrac{d\vec{T}}{dt}(t) são ortogonais para todo t; em outras palavras, provar que
\vec{T}(t)\cdot\frac{d\vec{T}}{dt}(t)=0.
Passo 2
Lembrete útil (o que significa “ortogonais”): dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles é zero. Portanto a meta é mostrar que a função escalar t\mapsto \vec{T}(t)\cdot\frac{d\vec{T}}{dt}(t) é identicamente zero.
Passo 3
Mostrar primeiro que \vec{T}(t) tem norma unitária. Use a definição de norma e a propriedade da norma multiplicada por escalar:
Reescreva \|\vec{T}(t)\|^{2} usando produto escalar. Por definição,
\|\vec{T}(t)\|^{2}=\vec{T}(t)\cdot\vec{T}(t).
Como pelo passo anterior \|\vec{T}(t)\|^{2}=1 para todo t, temos a igualdade de funções escalares
\vec{T}(t)\cdot\vec{T}(t)=1.
Passo 5
Diferencie ambos os lados da igualdade \vec{T}(t)\cdot\vec{T}(t)=1 em relação a t. Para isso use a regra da derivada do produto escalar: se \vec{a}(t) e \vec{b}(t) são funções vetoriais diferenciáveis então
Por outro lado, a derivada do lado direito da igualdade original \vec{T}(t)\cdot\vec{T}(t)=1 é a derivada da constante 1, isto é 0. Portanto
2\,\vec{T}(t)\cdot\frac{d\vec{T}}{dt}(t)=0.
Passo 8
Dividindo por 2 (número escalar), obtemos a igualdade desejada:
\vec{T}(t)\cdot\frac{d\vec{T}}{dt}(t)=0.
Isto mostra que \vec{T}(t) é ortogonal a \dfrac{d\vec{T}}{dt}(t) para todo t. Intuição rápida: \vec{T} tem norma constante igual a 1, então toda variação de \vec{T} só pode mudar sua direção, não sua magnitude; essa mudança de direção é perpendicular ao próprio vetor unitário.