Suponha \vec{v}(t) \neq 0 para todo t. Faça
\vec{T}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{v(t)}, \quad \text { onde } v(t)=\|\vec{v}(t)\|
Prove que:
\vec{T} e \frac{d \vec{T}}{d t} são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá uma função vetorial \vec{v}(t) tal que \vec{v}(t)\neq 0 para todo t. Define-se o versor tangente
\vec{T}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{v(t)}, \qquad\text{onde}\qquad v(t)=\|\vec{v}(t)\|.
O que se pede: provar que \vec{T}(t) e \dfrac{d\vec{T}}{dt}(t) são ortogonais para todo t; em outras palavras, provar que
\vec{T}(t)\cdot\frac{d\vec{T}}{dt}(t)=0.

Passo 2

Lembrete útil (o que significa “ortogonais”): dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles é zero. Portanto a meta é mostrar que a função escalar t\mapsto \vec{T}(t)\cdot\frac{d\vec{T}}{dt}(t) é identicamente zero.

Passo 3

Mostrar primeiro que \vec{T}(t) tem norma unitária. Use a definição de norma e a propriedade da norma multiplicada por escalar:
\|\vec{T}(t)\|=\left\|\frac{\vec{v}(t)}{v(t)}\right\|=\frac{\|\vec{v}(t)\|}{v(t)}=\frac{v(t)}{v(t)}=1.
Então, para todo t,
\|\vec{T}(t)\|^{2}=1.

Passo 4

Reescreva \|\vec{T}(t)\|^{2} usando produto escalar. Por definição,
\|\vec{T}(t)\|^{2}=\vec{T}(t)\cdot\vec{T}(t).
Como pelo passo anterior \|\vec{T}(t)\|^{2}=1 para todo t, temos a igualdade de funções escalares
\vec{T}(t)\cdot\vec{T}(t)=1.

Passo 5

Diferencie ambos os lados da igualdade \vec{T}(t)\cdot\vec{T}(t)=1 em relação a t. Para isso use a regra da derivada do produto escalar: se \vec{a}(t) e \vec{b}(t) são funções vetoriais diferenciáveis então
\frac{d}{dt}\big(\vec{a}(t)\cdot\vec{b}(t)\big)=\frac{d\vec{a}}{dt}(t)\cdot\vec{b}(t)+\vec{a}(t)\cdot\frac{d\vec{b}}{dt}(t).
Essa fórmula decorre de aplicar a derivada componente a componente e da regra do produto em cada termo; é a versão vetorial da regra do produto.

Passo 6

Aplicando a fórmula do passo anterior com \vec{a}=\vec{b}=\vec{T}, obtém-se
\frac{d}{dt}\big(\vec{T}(t)\cdot\vec{T}(t)\big) = \frac{d\vec{T}}{dt}(t)\cdot\vec{T}(t) + \vec{T}(t)\cdot\frac{d\vec{T}}{dt}(t).
Como os dois termos à direita são iguais (produto escalar é comutativo), isso se simplifica para
\frac{d}{dt}\big(\vec{T}(t)\cdot\vec{T}(t)\big)=2\,\vec{T}(t)\cdot\frac{d\vec{T}}{dt}(t).

Passo 7

Por outro lado, a derivada do lado direito da igualdade original \vec{T}(t)\cdot\vec{T}(t)=1 é a derivada da constante 1, isto é 0. Portanto
2\,\vec{T}(t)\cdot\frac{d\vec{T}}{dt}(t)=0.

Passo 8

Dividindo por 2 (número escalar), obtemos a igualdade desejada:
\vec{T}(t)\cdot\frac{d\vec{T}}{dt}(t)=0.
Isto mostra que \vec{T}(t) é ortogonal a \dfrac{d\vec{T}}{dt}(t) para todo t. Intuição rápida: \vec{T} tem norma constante igual a 1, então toda variação de \vec{T} só pode mudar sua direção, não sua magnitude; essa mudança de direção é perpendicular ao próprio vetor unitário.

Resposta

\vec{T}(t)\cdot\frac{d\vec{T}}{dt}(t)=0

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